泉州七中高二理科数学周练《导数》2012.12.28
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泉州七中高二理科数学周练
《导数》
2012.12.28
班级
座号姓名_____________
一
、选择题
1．质点运动规律
，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．
9.3B．36.3 C．3.3 D．6.3
2．函数
y
＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．
1 B．2 C．3D．4
3．某汽车的路程函数是
，则当时，汽车的加速度是( )
A．
14 m/s2B．4 m/s2 C．10 m/s2D．－4 m/s2
4．已知函数
f
(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝( )
A．－
1B．－2 C．1D．2
5．若
f
(x)＝，
e<a<b，则( )
A．
f
(a)>f(b)B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b)D．不确定
6．已知对任意实数
x
，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．
f
′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．
f
′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
7．设函数
f
(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为( )
A．－
B．0 C.
D．
5
8．如图，一个正五角星薄片
(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为 ( )
9．设点
P
是曲线y＝x3－
x＋上的任意一点，
P
点处的切线倾斜角为，则的取值范围为( )
A.
B.∪
C.∪
D.
10．设
f
(x)为可导函数，且满足＝－
1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．
2 B．－1 C．1 D．－2
11．已知函数
y
＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若， ，则大小关系是( )
A
．B．C．D．
二、填空题
13．与直线
2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．
14.已知总变动成本函数为：
（q为产量：），则边际成本最低时的产量为________。
15．已知
，函数在[1，＋∞)上是单调增函数，则的最大值是________．
16．已知
，记，
，则
________.
三、解答题
17．求下列函数的导数：
（
1）；
（
3）；（4）；
（
5）；（6）；
（
7）（为参数）
18．已知曲线
(1)求曲线在点
P
(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点
Q
(1,0)处的切线方程；
(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
19．设函数
f
(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求
a
、b的值；
(2)讨论函数
f
(x)的单调性．
20.已知函数
，x∈R，其中t∈R.
(1)当
t
＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当
t
>0时，求f(x)的单调区间．
21．设函数
.
(1)若
a
＝，求
f
(x)的单调区间；
(2)若当
x
≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
22.
如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.
（Ⅰ）试求与的关系
（
Ⅱ）求
泉州七中高二理科数学周练
《导数》
2012.12.28
答案
一
、选择题
1．
[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度＝＝＝
6.3，故应选D.
2．
[答案] D
3．[解析]由
v(
t)＝
s′(
t)＝6
t
2－
gt，
a(
t)＝
v′(
t)＝12
t－
g，得
t＝2时，
a(2)＝
v′(2)＝12×2－10＝14(m/s
2)．选 Ａ
4．解析：
f
′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴
f′(1)＝－
2.答案：B
5．解析
f
′(x)＝，当
x
>e时，f’(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．Ａ
6．
[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0. [答案] B
7．
[解析] 由题设可知f(x＋5)＝f(x)∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)
又
f
(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0
故
f
′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.
8．
[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
9．
[解析] 设P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－，
∴切线的斜率k＝3x－，
∴tan
α＝
3x－≥－.∴
α∈∪.故应选
C.
10．
[解析]y′|x＝1＝＝＝
1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1，选Ｃ.
11．
[解析] 当0<x<1时xf′(x)<0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数
当
x
>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
12. [答案] D
二、填空题
13．解析：设切点的坐标为(
x
0，
x＋3
x－1)，则由切线与直线2
x－6
y＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又
f′(
x)＝3
x
2＋6
x，故3
x＋6
x
0＝－3，解得
x
0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3
x＋
y＋2＝0. 14.
15．解析：
f′(
x)＝3
x
2－
a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：
a≤3
x
2在[1，＋∞)上恒成立，而(3
x
2)
min＝3×1
2＝3.∴
a≤3，故
a
max＝3.
16．解析：
f
2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，
f
4(
x)＝－
cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)
又∵
f
1(
x)＋
f
2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴
f
1＋
f
2＋
…＋f2012＝
f
1＋
f
2＋
f
3＋
f
4＝
0.
三、解答题
17．求下列函数的导数：
解：（
1）， 。
（
2）＝
（
3）
（
4）
（
5）
（
6）
（
7）【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x
＝
1－（1－cos 4x）＝＋cos 4x．y′＝－sin 4x．
【解法二】
y
′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sinx)′＋4 cos3x(cosx)′
＝
4 sin3xcosx＋4 cos3x(－sinx)＝4 sinxcosx(sin2x－cos2x)
＝－
2 sin 2xcos 2x＝－sin 4x
(8)
y′＝
loga(x2＋x－1)＋x·log
ae(
x
2＋
x
－1)′＝loga(x2＋x－1)＋log
ae.
18．
[解析] ∵y＝ ，
∴y′＝－.
(1)显然
P
(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在
P
(1,1)点导数．
即
k
＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
(2)显然
Q
(1,0)不在曲线y＝上．则可设过该点的切线的切点为
A，
那么该切线斜率为
k
＝f′(a)＝.则切线方程为
y
－＝－(
x－
a
)．①
将
Q
(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－
a
)．解得a＝，
代回方程
①整理可得：切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为
A，则切线斜率为
k
＝－＝－，解得
a
＝±，那么
A，
A
′.代入点斜式方程得
y
－＝－(
x－)或
y
＋＝－(
x＋)．整理得切线方程为
y
＝－
x＋或
y
＝－
x－.
19．
[解析] (1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于
f
(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，解得
a
＝1，b＝－3.
(2)由
a
＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令
f
′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.
所以当
x
∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当
x∈(3，＋∞)时，
f(
x)也是增函数；当
x∈(－1,3)时，
f(
x)是减函数．
20. [解析] (1)当
t＝1时，
f(
x)＝4
x
3＋3
x
2－6
x，
f(0)＝0，
f′(
x)＝12
x
2＋6
x－6，
f′(0)＝－6.
所以曲线
y
＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.
(2)
f′(
x)＝
12x2＋6tx－6t2.f′(x)＝0，解得
x＝－
t或
x＝.
令因
t
>0，则－t＜.当
x
变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
|
x
|
(－
∞，－t)
|
||
|
f′(
x)
|
＋
|
－
|
＋
|
|
f(
x)
|
|
|
|
所以，
f(
x)的单调递增区间是(－∞，－
t)，；
f(
x)的单调递减区间是.
21．
[解析] (1)
a＝时，
f
(x)＝x(ex－1)－
x
2，
f
′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当
x
∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故
f
(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．
(2)
f(
x)＝
x
(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若
a
≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
当
a
>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.
综合得
a
的取值范围为(－∞，1]．
22.
解：（
Ⅰ）设
，由得
由得。
（
Ⅱ）
，得，