泉州七中高二年上学期期末模拟试卷（理
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泉州七中高二年上学期期末模拟试卷（理）
2013-1-21
班级_______座号_______姓名_________
一、选择题（每题5分，共60分）
1.双曲线
的渐近线方程是（）
A.
B.
C.
D.
2.
若函数的图象的顶点在第四象限，则导函数的图象是（）
3.在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则（）
A.
B.
C.
D.
4.定义运算
,则符合条件的点的轨迹方程是（）
A.
B. C. D..
5.已知正四棱柱
中 ，，为的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 （）
A.2
B. C. D.1
6.若
＝在上是减函数，则的取值范围是（
）
Ａ
. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
7.
设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 （）
A．
或2B．C．2 D．
8.等比数列
中，，函数，则（）
A．
B．C．D．
9．做一个圆柱形锅炉，容积为
，两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为 （
）
A.
B.
C.D.
10.
分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,,且的解集为 （）
A. B. C. D.
11.已知
的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭圆 上，且满足（为坐标原点），,则直线的方程是 （）
A．
B．C．D．
12.设函数
，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 （）
A.当
时，B.当时，
C. 当
时，D.当时，
二、填空题(每题4分，共16分)
13.设＝有极大值和极小值，则的取值范围是
.
14．已知正方体的棱长为1，点在线段上．当最大时，三棱锥的体积为________．
15.已知直线与抛物线相交于
A、
B两点，
O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点
P，当△
PAB面积最大时，P点坐标为
．
16．已知函数
f(
x)＝
ax－ln
x，若
f(
x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数
a的取值范围为_______．
三、解答题（12×5+14＝74分）
17．（本小题满分
12分）
设向量
＝(3,5，－4)，＝(2,1,8)，计算,，以及与所成角的余弦值，并确定应满足的条件，使与轴垂直．
18．（本小题满分
12分）
设函数
为奇函数，其图象在点处的切线与直线平行，导函数的最小值为
（
Ⅰ）求，，的值；
（
Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值
19. （本小题满分
12分）
已知椭圆
的离心率，在椭圆上存在A,B两点关于直线 对称。
（Ⅰ）若椭圆
的右焦点到直线的距离为，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以
为直径的圆恰好经过原点，求的值
20．（本小题满分
12分）
如图，四棱锥
中，底面为菱形， PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2， E是PC上的一点，PE=2EC.
（Ⅰ）证明：
PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角
A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥
D-PBC的体积。
21．（本小题满分
12分）
已知直线
过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为．
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）证明：无论
取何实数时，，都是定值；
（Ⅲ）记
的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论．
22.
（本小题满分14分）
已知函数
=.
(I)
讨论
的单调性；
（II）设
＞0，证明：当0＜
＜时，
＞
（III）若函数＝
的图象与
轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
0
，
证明：
＜0.
泉州七中高二年上学期期末模拟试卷（理）
2013-1-21
答案
一、选择题（每题
5
分，共
60
分）
|
题号
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
答案
|
A
|
A
|
C
|
A
|
D
|
D
|
B
|
C
|
C
|
A
|
A
|
B
|
二、填空题
(
每题
4
分，共
16
分
)
13.
14． ________．15.
P(4,
－4)
16． ___
a
≥1____．
三、解答题（
12
×
5+14
＝
74
分）
17．解：2
a＋3
b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3
a－2
b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．
a·
b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵|
a|＝＝，|
b|＝＝，
∴cos〈
a，
b〉＝＝＝－.
∵
λa＋
μb与
z轴垂直，∴(3
λ＋2
μ，5
λ＋
μ，－4
λ＋8
μ)·(0,0,1)＝－4
λ＋8
μ＝0，即
λ＝2
μ.
∴当
λ，
μ满足
λ＝2
μ时，可使
λa＋
μb与
z轴垂直．
18
．解：（
Ⅰ
）
∵
为奇函数，
∴
即
∴…………………2
分
∵
的最小值为
∴
又直线
的斜率为
因此，
∴
，
，
………………5
分
（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）知
∴
，列表如下：
|
单调递增
|
极大
|
单调递减
|
极小
|
单调递增
|
所以函数
的单调增区间是
和
…………8
分
∵
，
，
∴
在
上的最大值是
，最小值是
……………12
19. 解：（
Ⅰ）设椭圆右焦点（）．
由到直线的距离，解得．
由到直线的距离，解得．
由
，及，解得，．
所以椭圆
的方程为．……5分
（Ⅱ）因为
，所以，从而，可设椭圆．
因为 ，关于直线对称，可设直线的方程为．
由得．
设，，则 ，，……7分
若以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O，
则，即．
记的中点，则，所以．
又点在直线上，所以，解得，
所以，解得
经检验，当时，以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O．所以…………12分
因为 ，关于直线对称，可设直线的方程为．
由得．
设，，则 ，，……7分
若以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O，
则，即．
记的中点，则，所以．
又点在直线上，所以，解得，
所以，解得
经检验，当时，以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O．所以…………12分
20．
21．解：
(1)由条件知在直线上，即，
所以抛物线
的方程为．………………
3分
(2) 由
得.则.…………5分
则
，即有定值，
.………………
8分
(
3)根据条件有
．
由抛物线的定义得
，………………9分
于是
，，.………11分
……………
12分
，
则有
．………………14分
22.
解：(Ⅰ)的定义域为，
.
（ⅰ）若，则，所以在单调递增.
（ⅱ）若，则由得，且当时，，当时， ，
所以在单调递增，在单调递减. …5分
（Ⅱ）设函数，则，
.
当时，，而，所以.
故当时，.……9分
（Ⅲ）由(Ⅰ)可得，当时，函数y=f（x）的图象与x轴至多只有一个交点，故，
从而的最大值为，且．
不妨设A（，０），B（，０），，则，
由（Ⅱ）得．
从而，于是．由(Ⅰ)知，．……14分