课题：第七章机械能类型：会考复习课

目的要求：

重点难点：

教具：。

过程及内容：第一节功

知识内容

一、功

1．功

（1）功的概念:一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功．力和在力的方向上发生位移，是做功的两个不可缺少的因素．

（2）功的计算式：力对物体所做的功的大小，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦三者的乘积：W=Fs cosα．

（3）功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J．1J就是1N的力使物体在力的方向上发生lm位移所做的功．

课堂练习

1．下述说法中正确的是（C）

A．力越大，位移越大，做功就越多

B．力的方向与运动方向相同时，功就等于这个力与位移大小的乘积

C．力很大，位移很大，这个力的功可能为零

D．有加速度的物体一定有力对其做功

2．下列关于做1J的功的说法正确的是（A）

A、1J就是1N的力使物体在力的方向上发生lm位移时所做的功

B．1J就是把质量为 1kg　的物体移动　1m　所需要做的功

C．IJ就是把重IN的物体移动lin所需要做的功

D．1J就是把重9．8N的物体移动lm所需要做的功。

3．如图所示，质量分别为m_l和m₂的两个物体，m₁＜m₂，在大小相等的两个力F₁和F₂的作用下沿水平方向移动了相同的距离，若F₁做的功为W₁，F₂做的功为W₂则（C）

A、W₁＞W₂B．W₁＜W₂

C．W₁=W₂；D．条件不足，无法确定

4．起重机将重2．0×10⁴N的物体匀速提高4．　0m　，则在这一过程中起重机的钢绳对重物做的功为8×10⁴J．

5．如图，物体重10 N，置于水平地面上，线绳一端系在物体上，另一端跨过定滑轮，用16 N的力F，沿与竖直成60⁰角的方向拉过0．　5m　，则拉力对物体做的功是（A）

A、8J；B．5J；C．4J；D．0　　

知识内容

2．功的计算

⑴恒力的功：根据公式W=Fscosα，当0⁰≤a＜90⁰时，cosα＞0，W＞0，表示力对物体做正功；当α=90⁰时，cosα=0，W＝0，表示力的方向与位移的方向垂直，力不做功；当90⁰＜α＜180⁰时，cosα＜0，W＜0，表示力对物体做负功，或者说物体克服力做了功．

(2)合外力的功:等于各个力对物体做功的代数和,即:W_合=W₁+ W₂+ W₃+……　　

（3）用动能定理W=ΔE_k或功能关系求功。功是能量转化的量度.做功过程一定伴随能量的转化,并且做多少功就有多少能量发生转化.　　

3.功和冲量的比较

(1)功和冲量都是过程量,功表示力在空间上的积累效果,冲量表示力在时间上的积累效果.　　

(2)功是标量,其正、负表示是动力对物体做功还是物体克服阻力做功.冲量是矢量,其正、负号表示方向,计算冲量时要先规定正方向.　　

(3)做功的多少由力的大小、位移的大小及力和位移的夹角三个因素决定.冲量的大小只由力的大小和时间两个因素决定.力作用在物体上一段时间,力的冲量不为零,但力对物体做的功可能为零.　　

4.一对作用力和反作用力做功的特点

⑴一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。

⑵一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。

例题分析

θ

L

m

F

例1.如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有

A.B.C.D.

解：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D　　

⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B　　

θ

2

⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D　　

在第三种情况下，由=，可以得到，可见在摆角为时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。

例2关于摩擦力做功的下列说法中不正确的是

A、滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功

B、静摩擦力起着阻碍物体相对运动趋势的作用，一定不做功

C、静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功

D、系统内相互作用的两物体间一对摩擦力做功的总和等于零答案ABCD 　　

例3在光滑水平转盘上的小物体质量为m随转盘转动，当半径为R₁时的速度为V₁，半径为R₂时的速度为V₂，求这个过程中绳的拉力做的功（用动能定理）

解：由动能定理

例4如图所示，在光滑水平面上，物块在恒力F=100N作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小和绳的摩擦，H=　2.4m　，α=37º，β=53º，求拉力对物体所做的功。（将变力功转化为恒力功）

F αβ

解：在物块运动过程中拉力F做的功

本题是利用定滑轮改变了物体力的方向，物体受到变力作用，而这个变力所做的功和恒力做的功相同。

例5正在执行任务的我海军舰艇“猎鹰”号，突然接到命令：前往某海域拦截一走私渔船。该舰艇接到命令后，立即调转船头加速前进。经过5分钟，前进了6km，提前到达目的地。若在这段时间内舰艇的发动机功率恒为10Mw，舰艇所受的阻力恒为5kN.。则在这段时间内舰艇牵引力做的功是多少？（用W=Pt求恒定功率下的变力功）

解：这段时间内，由P=Fv和题意知牵引力是变力。但因发动机的功率恒定，故可用W=Pt求得发动机的功。W=Pt=10×10⁶×5×60J=3×10⁹J

课堂练习

6．关于摩擦力做功，下列说法中正确的是（CD）

A、静摩擦力一定不做功

B．滑动摩擦力一定做负功

C．静摩擦力和滑动磨擦力都可能做正功

D．静摩擦力和滑动磨擦力都可能做负功

7、如图所示，升降机以加速度a向上做匀加速运动，物体相对于斜面静止，则对物体所受各个力做功情况分析，正确的是（ABD）

A、静摩擦力对物体做正功

B．重力对物体做负功

C．支持力对物体不做功

D．合外力对物体做正功

8．如图所示，物体质量为　2 kg　，光滑的定滑轮质量不计，今用一竖直向上的50N拉力，使物体上升　4m　的距离，在这一过程中，拉力做功400J，重力做功－80J．（m=　10 m　／s²）

9．如图所示，质量m=5．　0 kg　的物体，置于动摩擦因数μ=0．2，倾角θ₁=30⁰的斜面上，在与斜面成交角θ₂＝30⁰的恒力F=50 N的作用下，上移距离s=　2.0m　，则此过程中F对物体作功86。5J．

10．如图，质量为m的小物体相对静止在换形物体的倾角为θ的光滑斜面上，换形物体在水平推力F作用下向左移动了距离S，在此过程中，楔形物体对小物体做的功等于（D）

A、0；B．mgs cosθ；C．Fs；D．mgstgθ

知识内容

二、功率

1．功率

（1）功率的定义及物理意义功踉完成这些功所用时间的比值叫做功率．功率表示做功的快慢．

（2）功率定义式P=W/t．如果把w=Fs代入功率的定义式还可得P＝Fv，即功率等于力和物体运动速度的乘积．

（3）功率的单位在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W．技术上常用千瓦（kw）做功率的单位．1w=1J/s；1kw= 1000 W．

课堂练习

11．关于功率，下列说法正确的是（B）

A、功率是说明力做功多少的物理量；B．功率是说明力做功快慢的物理量

C．力做功时间长，功率一定小；D．力做功多，功率一定大

12．一位搬运工人，在10 min里，将质量为　25 kg　的面粉40袋搬到1．　5 m　高的卡车上．那么这位搬运工人所做的功是1.47×10⁴J，其做功的功率是24.5W．

13．下列各单位中属于功率单位的是（B）

A、焦耳；B．瓦特；C．千瓦时；D．电子伏；

14．有甲、乙两台机械，它们的额定功率P_甲＞P_乙，则（D）

A、甲做功一定比乙多；B．甲做功一定比乙快

C．甲输出功率一定比乙大；D．正常工作时甲最大功率一定比乙大

知识内容

2．根据公式P=W/t、p=Fv计算功率

（1）根据功率的定义式p＝W/t，可以计算恒力的功率，也可以计算变力做功的平均功率；根据公式P＝Fv，当V为物体某时刻的瞬时速度时，P为力F在该时刻的瞬时功率．当V为一段时间内的平均速度时，P为恒力F在这段时间内的平均功率．

（2）运用公式P=Fv计算功率时，要注意F与力的方向须在一直线上．

课堂练习

15．质量为m的木块在水平恒力F作用下从静止开始沿光滑的水平面运动了时间t．则在t时间末，力的功率是（C）

A、；B、；C、；D、；

16．质量为　5 kg　的物体在竖直向上的拉力F=100 N的作用下由静止开始运动了5s，则拉力F所做的功为12500J，5 s内拉力的功率为2500W，5 s末拉力的功率为5000W．（g取　10m　／s²）

17．一个质量m=2．　0 kg　的物体自由下落，重力加速度取　10 m　／s²，则第2 s内重力的平均功率是（B）

A．400 WB．300 WC．200 WD．100 W　　

18．汽车以恒定功率P沿水平路面行驶，在某段时间t内通过位移S，其末速度为V，则在这一过程中牵引力做的功为（D）

A、Pt／vB．Ps／v；C．Ps；D、Pt　　

19．航行中，轮船A比轮船B的功率大，那么可以肯定（D）

A、轮船A比轮船B的速度大

B．轮船A是逆流而上，轮船B是顺流而下

C．轮船A的牵引力比轮船B的牵引力大

D．相同时间内轮船A比轮船B做功多

20．起重机在5 s内把2．0×　10³kg　的货物从静止开始匀加速提升　10m　，求此起重机应具备的最小功率．（g取　10 m　／s²）【答:86.4kw】

知识内容

3．应用公式P=Fv分析和计算有关问题

v

a

f

F

（1）每个发动机都有一个额定功率，这是发动机正常工作时的最大功率．发动机工作时的实际输出功率可以小于额定功率，也可以大于额定功率，但不能长时间超过额定功率．由公式P=Fv可知，车、船等交通工具的发动机额定功率一定时，牵引力与运动速度成反比，要获得较大的牵引力就要减小运行速度．并不是任何时刻发动机的功率都等于额定功率,实际功率可在零和额定功率之间取值.　　

（2）当车、船等在其发动机保持恒定输出功率的情况下运动时，刚开始行驶速度较小，由P＝Fv可知，牵引力F较大，因行驶速度小，所受阻力f也较小，这时F＞f，车、船作加速运动；随着速度增大，F减小，阻力增大，当F＝f时，加速度为零，速度不再增大，即达到最大速度V_max，此后，即以此速度匀速行驶．这个最大速度应为V_max=P/F=P/f，可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。

（3）当车、船等以恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率P_m，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fžs计算，不能用W=Pžt计算（因为P为变功率）。

要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。但在相同功率下，机车不管以哪一种方式运动所得到的最大速度应该相同。

例题分析

例6.铁道部决定在前3次火车提速的基础上还将实行两次大提速,旅客列车在　500km　左右实现“夕发朝至”,进一步适应旅客要求.为了适应提速的要求(BC)　　

A.机车的功率可保持不变

B.机车的功率必须增大

C.铁路转弯处的路基坡度应加大

D.铁路转弯处的路基坡度应减小

课堂练习

21．汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是（C）

A、减小速度，得到较小的牵引力；B．增大速度，得到较大的牵引力

C．减小速度，得到较大的牵引力；D．增大速度，得到较小的牵引力

22．一台柴油机装在汽车上，汽车匀速行驶的速度可达　90 km　／h，装在汽船上，汽船匀速行驶的速度可达　30 km　／h，装在拖拉机上，拖拉机匀速行驶的速度可达　20km　／h，则三者运动中所受阻力大小之比是（C）

A．9：3：2；B．2：3：9；C．2：6：9；D．9：6：2　　

23．快艇在水上行驶，所受水的阻力和艇的速度平方成正比，若快艇以速度V行驶时，发动机的功率为P，当快艇的速度为3V，时，发动机的功率应为（C）

A、3P；B．9P；C．27P；D．81P　　

24．起重机以恒定功率P提升质量为m的重物，当重物从地面提升到离地面h高处时，重物开始做匀速运动，则重物匀速运动的速度为P/mg．此时起重机对重物的牵引力为mg．从重物离开地面到开始匀速运动的过程中，重物克服重力做功mgh．（不计空气阻力）

25．汽车在平直道路上由静止出发，保持发动机的功率恒定，当车速为　4 m　／s时，车的加速度为　4a　；当车速为　8 m　／s时，车的加速度为a，则汽车能达到的最大速度是多少？（设车受到的阻力恒定）【　12m/s】

知识内容

三、功和能

1．功是能量转化的量度

（1）物体可以处于各种不同的能量状态，各种不同的运动形式对应着不同形式的能：机械能（动能、势能）、内能、电能、化学能、光能、核能等等．各种不同形式的能可以互相转化，各物体所具能量状态可以互相转换．

（2）各种不同形式的能的互相转化或物体间能量状态的转换是通过做功来实现的．做功的过程就是物体能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生变化，转化了的量的多少可以由做功的多少来确定，功是能量转化的量度．由功和能之间的这种关系，虽以根据做功的多少定量讨论能量的转化：运动物体所具动能的大小与某一高度上物体重力势能的大小，就是根据外力使静止的物体得到一定速度做了多少功，以及把物体从地面匀速举到一定高度需要的功来确定的．也可根据能量的变化而了解做功的多少．

课堂练习

26．关于功和能的联系与区别，下列说法中正确的是（C）

A．功和能是同一个物理量

B．功是物体能量多少的量度

C．功是物体能量转化的量

D．功是物体能量的来源

第二节动能定理

知识内容

一、动能

1．动能

（1）动能的概念物体由于运动而具有的能叫做动能．

（2）动能的表达式及其意义E_k=½mv²，物体的动能等于它的质量跟它的速度平方乘积的一半．动能是标量，只有大小，没有方向，动能恒为正值．动能是状态量,动能的变化(增量)是过程量.动能具有相对性,其值与参考系的选取有关.一般取地面为参考系.

（3）动能的单位在国际单位制中，动能的单位由质量和速度的单位确定，为kg·m²／s²，即J．

（4）动能与动量的区别与联系

①联系:都是描述物体运动状态的物理量,都由物体的质量和瞬时速度决定,它们的关系为:或.　　

②区别:　　

A、动能是标量,动量是矢量.动能变化只是大小变化,而动量变化却有三种情况:大小变化,方向变化,大小和方向均变化.一个物体动能变化时动量一定变化,而动量变化时动能不一定变化.　　

B、跟速度的关系不同:,.　　

C、变化的量度不同.动能变化的量度是合外力的功,动量变化的量度是合外力的冲量.　　

课堂练习

28．在下面4种情况中，能使汽车的动能变为原来的4倍的是（BD）

A、质量不变，速度增大到原来的4倍

B．质量不变，速度增大到原来的2倍

C．速度不变，质量增大到原来的2倍

D．速度不变，质量增大到原来的4倍

29．有甲、乙两个物体，除了指出它们的质量和速度的不同外，其他条件都相同，则在哪种情况下两个物体动能是相同的？（CD）

A、物体甲的速度是乙的2倍

B．物体甲的质量是乙的一半

C．物体甲向上运动，物体乙向下运动

D．物体甲做直线运动，物体己做曲线运动

知识内容

二．动能定理

1、动能这理及数学表达式

（1）动能定理：合力所做的功等于动能的改变（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。

动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功

（2）动能定理的数学表达式：W=E_k2－E_k1

（3）因动能定理中功和能均与参考系的选取有关,所以动能定理也与参考系的选取有关,一般以地球为参考系.　　

(4)不论做什么运动形式,受力如何,动能定理总是适用的.　　

(5)做功的过程是能量转化的过程,动能定理中的等号“＝”的意义是一种因果联系的数值上相等的符号,它并不意谓着“功就是动能的增量”,也不意谓着“功转变成动能”,而意味着“合外力的功是物体动能变化的原因,合外力对物体做多少功物体的动能就变化多少”.　　

(6)W_总>0时,E_k2>E_k1,物体的动能增加;W_总<0时,E_k2k1,物体的动能减小;W_总=0时,E_k2=E_k1,物体的动能不变.　　

(7)和动量定理一样,动能定理也建立起过程量(功)和状态量(动能)间的联系.这样,无论求合外力做的功还是求物体动能的变化,就都有了两个可供选择的途径.和动量定理不同的是:功和动能都是标量,动能定理表达式是一个标量式,不能在某一个方向上应用动能定理.　　

2、动能定理与牛顿定律的比较

动能定理反映了做功与物体动能变化的因果关系：要使物体的速度大小发生变化，就需要外力作功．合外力做了多少功，就表示有多少其他形式的能与动能发生转化．作用在物体上所有力做的功等于物体动能的变化．牛顿第二定律则反映了力与物体速度变化的因果关系：力改变物体的运动速度，产生加速度。

3、动能定理的应用

（1）应用动能定理处理问题，建立具体方程的步骤是：

①选定研究对象，明确研究过程；

注意：动能定理的研究对象只能是单个物体,如果是系统,那么系统内的物体间不能有相对运动.(原因是:系统内所有内力的总冲量一定是零,而系统内所有内力做的总功不一定是零).

②在受力分析的基础上，确定有哪些力对物体做功（以“＋”表示），或物体克服哪些力做功（以“－”表示），以代数和的形式完成方程左边对合力功的表述；(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析,含重力）.

③分析所研究的过程初、末状态时的动能，完成方程右边对动能变化的表述；

（2）应用动能定理，不涉及物体运动过程中的时间、加速度等，物体所受的力也不一定是恒力，所以处理问题会更方便。

例题分析

v

v/

f

G

G

f

例1.将小球以初速度v₀竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。

解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：

和，可得H=v₀²/　2g，

再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：，解得

例2.一司机驾车在田野里行驶,突然发现前方不远处有一横沟,在反应时间内作出决策,是采用急刹车还是急转弯好?　　

解:若急转弯,则汽车靠摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律得:　　

,解得:

若急刹车,则由动能定理得:

解得:.因s<r,为了不掉在沟里,故采用急刹车好.　　

A

B

C

H

例3.如图所示,斜槽轨道下端与一个半径为　0.4m　的圆形轨道相连接.一个质量为　0.1kg　的物体从高为H＝　2m　的A点由静止开始滑下,运动到圆形轨道的最高点C处时,对轨道的压力等于物体的重力.求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功.(g取　10m/s²)　　

解:在C点有F_N+mg=mv_C²/r而F_N=mg

则:v_C==m/s

全过程由动能定理得mg(h-2r)-W_f=mv_C²

代数据得W_f=0.8J

L

h

s

例4.质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=　0.20m　，木块离台的右端L=　1.7m　。质量为m=　0.10M的子弹以v₀=　180m　/s的速度水平射向木块，并以v=　90m　/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=　1.6m　，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。

解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：

子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v₁，mv₀=mv+Mv₁……①

木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v₂，

有：……②

木块离开台面后的平抛阶段，……③由①、②、③可得μ=0.50　　

m

F

v

M

例5.如图所示,在光滑的水平面上有一平板小车M正以速度v向右运动.先将一质量为m的木块无初速地放在小车的右端,由于木块和小车间的摩擦力的作用,小车的速度将发生变化.为使小车保持原来的速度不变,必须及时对小车施加一向右的水平恒力F.当F作用一段时间后把它撤去时,木块恰能随小车一起以速度v共同向右运动.设木块和小车间的动摩擦因数为μ,求:　　

(1)为避免木块滑出小车,小车的长度至少为多少?　　

(2)上述过程中水平恒力F对小车做多少功?　　

解:(1)对木块由动量定理得:μmgt=mv,则

s_车=vt=,s_木=,所以小车的长度至少为:

(2)

课堂练习

31．某人在离地高　10 m　处把一个质量为　2 kg　的小球以　10 m　／s的速率水平抛出，着地时小球速率为　15 m　／s．取g=　10 m　／s²，则人抛球时对球做功100J；球在空中运动时克服空气阻力做功75J．

32．子弹以　700 m　／s的速度射穿一块木板后速度减为　500 m　／s，则继续射穿完全相同的第二块木板后的速度将减为　100m/s．

33．初速度为　800 m　／s的子弹，在横穿一块木板后，速度变为　700 m　／s，则这种子弹最多可以穿透几块同样的木板？（A）

A、4块；B．5块；C．7块 ；D．8块

34．质量为m的跳水运动员，从离水面高为h处以速度v₁跳起，最后以速度v₂进入水中，若不计空气阻力，则运动员起跳时所做的功等于（D）

A、½mv₁²+mgh；B、½mv₁²－mgh；C、½mv₂²+mgh；D、½mv₂²－mgh；

35．一颗子弹被火药燃爆后的气体推出枪膛，在此过程中，若气体对子弹的平均推力为F，弹头在枪膛中通过的距离为s，则子弹在出膛时获得了大小是Fs的动能；若子弹的质量是m，则出膛速度为．

36．A、B两物体放在光滑的水平面上，分别在相同的恒力F作用下，由静止开始通过相同的位移S，若A的质量大于B的质量，则在这一过程中（C）

A、A获得的动能大；B．B获得的动能大

C．A、B获得的动能一样大；D．无法比较A、B获得的动能的大小

37．一物体静止在粗糙的水平面上，当物体在水平力F作用下通过的位移为S时，它的动能为E₁，当物体在水平力　2F　的作用下通过的位移为S时，它的动能为E₂，则（C）

A、E₂＝E₁；B．E₂＝2E₁；C．E₂＞2E₁；D．E₁＜E₂＜2E₁

38．一物体从高为h的斜面顶端Q点由静止开始滑下，最后停在水平向上的B点，如图所示．如果在B点给该物体一个初速度V₀．使物体能沿着斜面上滑并停止在Q点．则V₀应为多大？【2】

第三节势能

知识内容

一、重力势能

1．重力势能

（1）重力势能：地球上的物体具有的跟它的高度有关的能，叫做重力势能．

（2）重力势能的表达式及其物理意义：E_p=mgh，即物体的重力势能等于物体所受的重力和它的高度的乘积．式中h为相对于某个参照平面的高度，所以，重力势能的大小具有相对性，物体在参照平面时的重力势能取作零，相对于不同的零势能面，同一物体的重力势能有不同的表达值．通常取地面为重力势能的零参照面．重力势能是一个标量．

（3）重力势能的单位与功的单位相同，在国际单位制中为J．

课堂练习

39．两金属块密度之比为1：2，体积之比为1：4，将它们放在离开地面同样高的地方，则所具重力势能大小之比是1:8

40．如图4－9所示，高度h=　6m　，桶重　12 kg　，置于水平地面上，当人拉着跨过定滑轮的绳的一端从A点走到B点时，桶增加的势能是300J．（g取　10m/s²）

41．如图4－10所示，小球的质量为m，它距水平桌面的高度为h，桌面距地面的高度为H，以桌面为零势能面，则小球在最高点时的重力势能是（A）

A、mgh；B．mgH；C．mg（H＋h）；D．mg（H－h）

42．如图所示，一根长为L的杆AB水平放置在地面上，用力拉住杆的B端，使它以A为支点缓慢转动直立起来，第一次用始终竖直向上的力F₁，第二次用始终垂直于杆的力F₂，在两次拉起杆的过程中（A）

A、F_l和F₂做的功一样多；B．F₁比F₂做的功多

C、F₂比F₁做的功多；D．F₁做的功为F　₁L　　　

知识内容

2．重力做功与重力势能变化的关系

（1）重力做功的特点重力做功与物体所经路径无关，只取决于初、末两位置间的高度差．

（2）重力做功与重力势能的变化重力对物体做正功时，物体的重力势能减少，重力对物体做负功时，物体的重力势能增加．重力做正功或负功的多少等于重力势能的减少量或增加量．W_G=-(E_P2-E_P1)=E_P1-E_P2,或W_G=-△E_P.重力势能的变化量与零重力势能面的选取无关.　　

课堂练习

43．当重力对物体做正功时，物体的（D）

A、重力势能一定增加，动能一定减少

B．重力势能一定减少，动能一定增加

C、重力势能不一定减少，动能一定增加

D．重力势能一定减少，动能不一定增加

44、物体做自由落体运动，第1s、2s、3s内重力做功之比为1:3:5；第1s、2s、3s末物体的动能之比为1:4:9．

45、如图4－12所示，小球质量0．　1kg　，摆线长　1m　．使小球在水平面内做圆周运动，当摆线从与竖直成37⁰夹角变为与竖直成53⁰夹角时，重力对小球做功－0.196J。小球的重力势能增大（填增大、减小）了0.196J．

46、均匀铁律长为L，重为G，横放在水平地面上．现将其缓慢地竖直，这过程中外力应做功GL/2．

47、重15 N的物体的重力作了75 J的功，则（A）A、有75 J的重力势能发生了转化；B．重物一定竖直地下落了　5m

C、重物的动能一定增加了75 J；D．重物的内能增加了75 J　　

知识内容

二．弹性势能

发生弹性形变的弹簧所具有的由各部分之间相对位置所决定的能叫做弹性势能．外力使弹簧发生弹性形变时做功，使其他形式的能转变成弹性势能；发生弹性形变的弹簧在恢复形变时能对外做功，使弹性势能转变为其他形式的能．

课堂练习

48、下列物体中具有弹性势能的是（AD）

A.拉满的弓 ；B、流泻的瀑布；C．举高的夯；D．弯曲的跳水板

49、如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从小球接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，下列关于能量的叙述正确的是（BC）

A、小球的动能逐渐减小

B、弹簧的弹性势能逐渐增大

C．小球的重力势能逐渐减小

D．机械能总和逐渐增大

第四节、机械能守恒定律

知识内容

1．机械能守恒定律的内容和条件

（1）机械能：动能、重力势能和弹性势能都是与机械运动相关的能，统称为机械能．不同形式的机械能是可以相互转化的．

（2）机械能守恒定律：如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变．这就是机械能守恒定律．

（3）机械能守恒的条件：机械能总量不变，指既无其他形式的能转换成机械能，也无机械能转换成其他形式的能．根据功与能量转换的关系可知：

①重力做功使重力势能与动能发生转换，（弹簧的）弹力做功使弹性势能与动能发生转换，但机械能总量不变；

②除了重力和（弹簧的）弹力以外的力对物体做正功，会使其他形式的能转变为物体的机械能，物体的机械能增加；除了重力和（弹簧的）弹力以外的力对物体做负功，会使物体的机械能转换成其他形式的能，物体的机械能减少．

由上可知机械能守恒的条件是：除重力功与（弹簧的）弹力功外，没有任何其他力（外力或内力）对物体做功．

2.对机械能守恒定律的理解

(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内.通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内,因为重力势能就是小球和地球所共有的.另外物体动能中的v,也是相对于地面的速度.　　

(2)当研究对象(除地球以外)只有一个物体时,往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒;当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时,往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒.　　

(3)“只有重力做功”不等于“只受重力作用”,在该过程中,物体可以受其它力的作用,只要这些力不做功,或所做功的代数和为零,就可以认为是“只有重力做功”.　　

3、机械能守恒定律的各种表达形式

⑴，即；

⑵；；

用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE_增=ΔE_减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

4.机械能守恒条件和动量守恒条件的比较

机械能是否守恒,决定于是否有重力和弹力以外的力做功,而动量是否守恒,决定于是否有外力作用.因为做功的过程是能量转化的过程,在只有重力或弹力做功的条件下,系统只有动能和势能之间的转化,机械能和其他形式的能不相互转化,所以系统的机械能守恒.因为冲量是动量变化的原因,系统所受外力的合力为零,则系统所受外力的冲量为零,所以系统的动量就保持不变. 　　

在利用机械能守恒定律处理问题时要着重分析力的做功情况,看是否有重力和弹力以外的力做功;在利用动量守恒定律处理问题时要着重分析系统的受力情况(不管是否做功),并着重分析是否有外力作用或外力之和是否为零.　　

应特别注意:系统动量守恒时,机械能不一定守恒;同样机械能守恒的系统,动量不一定守恒,这是两个守恒定律的守恒条件不同的必然结论.　　

例题分析

例1.如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？

N

s

解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。

例2.如图所示的装置中,木块B与水平桌面间的接触是光滑的,子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内,将弹簧压缩到最短.先将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),则此系统从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中(B)　　

B.动量守恒,机械能守恒

v0

B

A

B.动量不守恒,机械能不守恒

C.动量守恒,机械能不守恒

D.动量不守恒,机械能守恒

A

B

C

D

例3.如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上.其正上方A位置有一只小球.小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零,小球下降阶段下列说法中正确

的是(BCD)　　

A.在B位置小球动能最大

B.在C位置小球动能最大

C.从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

D.从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

解:小球动能的增加用合外力做功来量度,A→C小球受的合力一直向下,对小球做正功,使动能增加;C→D小球受的合力一直向上,对小球做负功,使动能减小.所以B正确.从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和,所以C正确.A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功,所以D正确.选B、C、D.　　

例4如图2所示，一轻弹簧左端固定在长木板m₂的左端，右端与小木块m₁连接，且m₁、m₂及m₂与地面之间接触面光滑，开始时m₁和m₂均静止，现同时对m₁、m₂施加等大反向的水平恒力F₁和F₂，从两物体开始运动以后的整个过程中，对m₁、m₂和弹簧组成的系统（整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度），正确的说法是（D）

图2

A．由于F₁、F₂等大反向，故系统机械能守恒

B．由于F₁、F₂分别对m₁、m₂做正功，故系统动能不断增加

C．由于F₁、F₂分别对m₁、m₂做正功，故系统机械能不断增加

D．当弹簧弹力大小与F₁、F₂大小相等时，m₁、m₂的动能最大

解：F₁、F₂大于弹力过程，m₁向右加速运动，m₂向左加速运动，F₁、F₂均做正功，故系统动能和弹性势能增加，A错。当F₁、F₂小于弹力，弹簧仍伸长，F₁、F₂还是做正功，但动能不再增加而是减小，弹性势能在增加，B错。当m₁、m₂速度减为零，m₁、m₂反向运动，这时F₁、F₂又做负功，C也错。

课堂练习

50．下列情况中，运动物体机械能一定守恒的是（D）

A、物体受合外力为零；B．物体不受磨擦力；

C．物体受到重力和弹力；D．物体只受重力

51．下列情况中，机械能一定不守恒的有（BC）

A、除重力、弹力以外还受到另一个力

B．除重力、弹力以外还受到空气阻力

C．除重力、弹力以外还有一个外力对物体做功

D．除重力、弹力以外没有任何外力对物体做功

52．在下列几种运动中，遵守机械能守恒定律的运动是（D）

A、雨滴匀速下落；B、汽车刹车的运动

C．物体沿斜面匀速下滑；D．物体做自由落体运动

53．下述物体中机械能一定守恒的是（B）

A、作匀速直线运动的物体；B．物体受几个力作用，但只有重力作功

C．所受合外力为零的物体；D．没有摩擦力作用的物体

54．竖直向上抛出的一个物体，由于受到空气阻力作用，物体落回抛出点的速率小于抛出时的速率，则在这过程中（B）

A、物体的机械能守恒

B．物体的机械能不守恒

C．物体上升时机械能减小，下降时机械能增大

D．物体上升时机械能增大，下降时机械能减小

55．物体在运动过程中，克服阻力做功50J，则（C）

A．重力对物体做功为50 J；B．重力对物体做功－50 J　　

C．物体的动能一定减少50 JD．物体的重力势能一定增加50 J　　

知识内容

2．机械能守恒定律的应用

应用机械能守恒定律必须：

①确认研究对象是一个满足机械能守恒条件、只发生动能与重力势能、弹性势能转换而机械能总量不变的系统和过程；

②确定所研究的守恒过程初、末两状态的动能与势能的表达式；

③根据机械能守恒定律列出数学方程式；

④同一研究对象，选定同一参照面．

例题分析

例5.如图所示，物体以100J的初动能从斜面底端向上运动，当它通过斜面某点M时，其动能减少了80Ｊ，机械能损失了32Ｊ．若物体能从斜面上返回底端，则返回底端时的动能为

v0

M

q

A.20JB.48JC.60JD.68J　　

分析：设物体的质量为m，斜面的倾角为θ，物体从底端到M点沿斜面运动的位移为s₁.　　

对物体做功的力有两个:重力沿斜面的分力mgsinθ和滑动摩擦力F，而且上升的过程中这两个力都对物体做负功.　　

根据动能定理可知：动能的减少量等于克服这两个力所做的功，即①　　

由功能关系可知：机械能的减少量等于克服滑动摩擦力所做的功，即②　　

由①、②两式得：③　　

设物体从斜面底端运动到最高点位移为s₂，则上升过程中由动能定理得：④　　

由③、④两式得：Fs₂=40J，即上升过程中物体克服滑动摩擦力做了40J的功.　　

因为上升和下降过程中物体都克服滑动摩擦力做功，且数值相等，所以往返一次克服滑动摩擦力所做的总功为80J.由功能关系可知，往返一次机械能的减少量等于克服滑动摩擦力所做的总功，所以物体返回斜面底端时机械能减少了80J，也就是说物体的动能减少了80J(因为物体的重力势能没有变化),因此物体返回斜面底端时的动能为20J,本题的选项A正确.　　

例6、如图所示，带有光滑的半径为R的圆弧轨道的滑块静止在光滑的水平面上，此滑块的质量为M，一只质量为m的小球由静止从A放开沿轨道下落，当小球从滑块B处水平飞出时，求下列两种情况下小球飞出的速度

(1)滑块固定不动；

(2)滑块可以在光滑的水平面上自由滑动．

解：a:当滑块固定不动时，小球自滑块上的A点开始下滑的过程中，小球要受到重力mg和滑块对小球的弹力的作用，而做功的只有小球的重力，故小球的机械能守恒，设小球从B飞出时的水平速度为v,以过B处的水平面为零势能面，则小球在A、B两处的机械能分别为mgR和．据机械能守恒定律有：mgR＝可得到，.

b:据机械能守恒定律可知：小球重力势能的减少等于小球和滑块动能的增加，即mgR=+

又因为小球和滑块构成的系统在水平方向上合外力为零，故系统在水平方向上动量也守恒，以小球飞出时速度v₁的方向为正方向：

据动量守恒定律有：mv₁－Mv₂＝０

解上面两式得出：v₁＝即：此时小球飞出的速度大小为

课堂练习

56．一个物体从高度是h的光滑斜面顶端A开始下滑，如图4－14，物体滑到斜面下端B时，速度的大小为（不计空气阻力）（A）

A、；B．；C．；D．2gh　　

57、如图4－15所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体以初速度V₀被抛出．不计空气阻力．当它到达B点时．其动能为（B）

A、½mv₀²＋mgHB．½mv₀²＋mgh　　

C．mgH－mgh；D．½mv₀²＋mg（H－h）

58．如图4－16所示，小滑块从最高点A由静止开始沿半径为R的光滑球面下滑，当到达距地面高h=2R/3的B点时恰开始离开球面，最后落至地面上的C点．则滑块在B点时的速度为，到达C点时的速度为．

59．一物体从H高处自由下落，到物体的动能等于其势能时，经历的时间是（B）

A、；B、；C．；D．2；

60．如图4－17所示，一根轻绳跨过定滑轮挂质量分别为m₁和m₂的两个物体（m₁≠m₂），滑轮质量及一切摩擦均不计．今将两物体由静止释放，此后（BD）

A、两物体的机械能分别保持不变

B．两物体的机械能总量保持不变

C．质量较大物体机械能将增加

D．质量较小物体机械能将增加

61．弹簧枪将小球从地面竖直向上射出，可达最大高度是　15 m　，现在　5m　高处用同一支枪将同一小球水平射出，则其落地时的速度大小为　20m／s．（g取　10m　／s²）