均值定理

用平均值定理求某些问题的最值·教学案例及反思

泉州七中  林月理 

教学目标

1．掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值．

2．通过利用平均值定理解决一些有关问题，进一步培养学生的观察能力、分析问题解决问题的能力．

3．培养学生转化的数学思想．

4．通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育．

教学重点与难点

重点：用平均值定理求某些函数的最值及解决有关的应用问题．

难点：注意定理的使用条件，正确地应用平均值定理．

教学过程设计

（一）引入新课

师：对于某个给出的函数，要问这个函数在指定的区间上有无最值及如何求出是我们经常遇到的数学问题．解决这类问题在初等数学的范围内并没有通用的方法，只能解决一些特殊函数的最值问题．因此，同学们要随着知识的增加，不断地总结一些常用方法．

前面，我们学习了不等式的性质、证明．不等式与函数的最值有无联系呢？举个例子．

生甲：有联系．如（x＋1）²≥0这个不等式就给出了函数y=（x＋1）²在定义域R上的最小值0．

构造Δ≥0这个不等式达到了求函数最值的目的．

师：这两个同学所举的例子说明不等式既是描述函数最值问题的数学语言，又是求解函数最值的有力工具．

其实，不等式刻画的是数量之间的大小关系和变量的变化范围，而函数的最值则是通过数量大小的比较所反映的变量在一定范围内变动时所能达到的界值．因此，它们之间有密切联系．

让我们来看一个实际问题．（出示投影）

（投影片1）引例 用篱笆围一块面积为50m²的一边靠墙的矩形篱 笆墙，问篱笆墙三边分别长多少米时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？

师：这是一个实际问题，问题的实质是什么？可抽象成怎样的数学问题？

生：问题的实质是求篱笆墙三边分别长多少米时，其和的最小值．

（x＞0）的最小值并求取得最值时相应的x值．

师：很好！这个函数的最值用我们以前学过的判别式法可以求出吗？

生：点头示意．

师：它是最佳解法吗？

除了构造不等式Δ≥0求出此函数的最值以外，同学们能否利用不等式的有关知识构造出其它不等式呢？仔细观察这个函数．

最小值．

此函数的最小值为20．

师：使用平均值不等式变形式有条件限制吗？

师：此函数何时取得最小值？

师：此时，问题解决了吗？

生：应该把个数学问题还原成实际问题．篱笆墙三边分别长5m，10m，5m时，所用篱笆最省．此时，篱笆墙长20m．

师：回顾解题过程，求得这个函数最值的关键是什么？

师：问题的关键抓得很准．怎样求得函数取得最小值时相应的x值呢？

且求得的x在函数的定义域内，函数取得最小值．

师：概括得很好，这正是这节课我们要研究的用平均值定理求某些函数的最值．（板书课题）

（二）推证定理

师：（板书）平均值定理：

师：我们把平均值定理改写成求某些函数（如引例中的函数）最值的命题．

（板书）已知两个正变数的积是一个常数．那么当且仅当这两个数相等时，它们的和取最小值．

师：类似地，你能否说出求某些函数最大值的命题呢？

生：已知两个正变数的和是一个常数，那么当且仅当这两个数相等时，它们的积取最大值．（教师板书）

师：下面请同学们证明这个命题．

生：设这两个正变数为x和y．

如果xy=P（常数），那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得

如果x＋y=S（常数），那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得

师：既然已经证明了上述命题为真命题，那么我们把它叫做定理1．类似地，由三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，谁能说出求某些函数最值的定理2呢？

生：定理2 已知三个正变数的积（和）是一个常数，那么当且仅当这三个数相等时，它们的和（积）取得小（大）值．（投影片2）

师：利用这两个定理，可以解决许多定积或定和条件下，若干个正变量的和或积的极值问题．但是，必须注意使用定理的条件，要注意哪几个条件？

生：注意三个条件．（1）这两个或三个变数必须是正变数；（2）当它们的和是定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取最小值；（3）当且仅当这两个或三个数相等时，取“=”号．

师：很好．看来从定理中也反映出现实世界中的量不等是普遍的，绝对的，而相等是局部的，相对的，必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得此类函数的最值．

（三）应用定理

师：求两项和的最小值，可以考虑试用定理1．但是，此函数具备使用定理1的条件吗？

是常数．

师：能否创造条件？

（学生讨论）

师：使用定理1的条件都具备了吗？

最得最小值吗？

生丙：还要注意解出的x=0是否属于函数的定义域．

师：这一点也很重要，不容忽视．

（教师板演，学生练习，共同完成解题过程）

师：也可以书写成如下格式．（投影片3）

最小值是1．

师：回顾解题过程，同学们根据此函数的特点，通过恰当的恒等变

把问题转化为定积条件下的两个正变量的和的最小值问题，使问题得以解决．下面请大家再解决一个问题．

最大值是多少？（投影片4）

师：这是一个什么问题？

生：求三个正变量积的最大值．

师：这三个正变量的和为定值吗？若不为定值，怎样转化？

（学生讨论）

生：虽然x+（5-2x）＋（5-2x）≠常数，但是要保证5-2x=5-2x，因此5-2x不宜再变，要使这三个正变量和为定值．只需考虑4x＋（5-2x）+（5-2x）=常数．

师：这个想法很好！是必不可少的思维过程．这样，原函数的变形方向就非常明确了．

师：具备使用定理2的条件了吗？

生：具备了．4x＞0，5-2x＞0且4x＋（5-2x）+（5-2x）=10，还有当4x=5-2x时，求得的x值在函数的定义域内．

师：回答得很全面．我们要学会善于全方位地把握问题，培养自己良好的思维品质．

（学生完成解答，教师巡视并用实物投影展示学生甲的解题过程、讲评）

师：由例1、例2可以看出，用平均值定理可以解决哪类函数的最值问题？

生：解决定积或定和条件下的两个或三个正变量的和或积的最值问题．

师：多数情况下，题设中具备使用定理的条件并未直接给出，怎样促成使用定理的三个条件，选配好正变量？

生：通过恒等变形，如例1中使用的拆分变量的方法，例2中使用的匹配系数的方法等，促成使用定理的三个条件．

师：当然，这些方法都是服务于使用定理的，正确使用定理解决问题是关键．下面请同学们观察两个题目的解法是否正确？

（四）易错解法讨论

为什么？

（学生讨论）

使用定理1求函数的最值．

生乙：可以对x以0为标准分类讨论．

师：这是一个解决问题的好办法．请你说说怎样解？

师：很好．既然同学们的眼光很敏锐，那么自己解题时可不能只见树木，不见森林，仅套用“积为定值，和有最小值”的结论，造成如此错误．

是否正确？为什么？

（学生讨论）

足定理1的使用条件．

师：为什么利用不等式求函数最值时，必须注意不等式中一端是变量，另一端必须是常量呢？请同学们看投影片．

（投影片7）

师：如果不等式两端都是变量f（x）≥g（x），如图5-4，可知f（x）≥g（x）恒成立，且“=”在x=a时能取到，这时能说f（a）是函数f（x）的最小值吗？

师：求解定和、定积条件下的最值问题，最值的取得必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件．如果仅把注意力集中在选取或设置符合定值条件下的正变量，而对相等条件忽略，那么就会造成这种错误．这道题大家怎么解？

（教师用投影展示解法3）

师：同学们可以回顾与反思一下，当我们求几项和的最值时，如果

生：如果分拆整式或分式的分母中次数较高的正变量，那么各项积的次数不会为0；看来可以尝试分拆整式或分式的分母中次数较低的正变量才能保证各项为常数．

师：很好．同学们在用不等式的知识求某些函数的最值时，不仅需要从理论上理解，而且还要在具体运用时善于总结一些规律，这也是养成良好学习习惯的一个方面．

下面请同学们运用所学知识解决一个实际问题．

（五）解决实际问题

（投影片9）例5  在一个直径是50mm的球形器材中，嵌入一根圆轴（如图5-5），为了使圆轴不易脱出，应该使它与球有最大的接触面积，问圆轴的直径应是多少？

师：解应用题首先要认真审题，认清问题的已知条件，需求解的对象，各种量之间的相互联系．紧紧抓住变量之间的关系，分析各种制约条件，然后建立恰当的数学模型，将实际问题转化成数学问题，如函数、方程、不等式等数学问题，再用已学过的数学知识解决这个数学问题，最后回到实际问题．

本题实质上是一个什么问题？

生：圆轴与球的接触面积应是所需圆柱的侧面积．本题实质上求当所需圆柱的直径为多少毫米时，此圆柱的侧面积最大．

师：怎样用题中的量表示此圆柱的侧面积？

生：设圆轴的半径为xmm，与球接触的圆轴的高为h mm，圆轴与球的接触面积是ymm²．因为圆轴与球的接触面积是一个圆柱的侧面积，所以y=2πxh①．

师：我们的目标是求使侧面积y为最大的条件，常把函数y=2πxh称为“目标函数”，这里的目标函数是二元函数，能否消去一元？

师：②式给出了两个“元”之间的关系，通常把②这样的关系式称为“约束条件”，这位同学把约束条件代入目标函数，使其化为一元函数．其中，x的取值有限制吗？

生：0＜x＜25．

的最大值．怎样求？

生：对于几个正变量的积的最值问题，可以考虑利用平均值定理来求．但是，本题中正变量的和却不是常数．

师：联系前面几个例题，我们采用分拆变量或匹配系数的方法，恰当地选配满足定值条件的正变量，促使问题解决．此函数呢？

（学生讨论）

生甲：前几个例题中函数的解析式没有带根号的，我想把解析式转

师：这两种变形是否都同时满足“正数”“定值”“相等”三个条件？

生：点头示意．

师：同学们把要解决的问题与旧知识建立联系，抓住要保证两个正变量的和为常数这一关键实现转化．我们的学习就是在这种不断联系、转化中取得进步的．下面请同学们完成解答过程．

（教师巡视，用实物投影展示某学生的解法）

（投影片10）解：设圆轴的半径为x mm，与球接触的圆轴的高为h mm，圆轴与球的接触面积是y mm²．则圆轴与球的接触面积是一个圆柱的侧面积且有y=2πxh  ①，其中0＜x＜25．

答：圆柱的直径应约为35.4 mm．

（六）巩固练习（学生练习，教师巡视，纠正错误）

A组

（A组题检查教学目标是否达到）

B组

设x＞0，y＞0且3x＋4y=12，求lg x＋lg y的最大值．（lg 3）

（B组题供学有余力的学生使用）

（七）小结

师：这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值的问题．现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本章的重点内容，同学们要牢固掌握．

应用定理时，同学们要注意些什么呢？

生：应注意同时满足三个条件，（1）两个（或三个）变数都是正数；（2）这两个（或三个）正变数的积（或和）是一个常数；（3）这两个（或三个）正变数能够相等．三个条件缺一不可．

师：不能直接利用定理时，要善于转化．这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的．

（八）布置作业

A组

（A组题为基本题目，独立完成）

B组

（3）要制造一个容积为12m³的圆柱形无盖容器．已知用来作底部与侧壁的材料每平方米的价格比为3∶2，则此容器所需材料价格最低时，圆柱的底面半径是多少？（1.37m）

（B组题为思考性较强题目，可讨论完成）

反思：

1．关于新课引入设计的想法

导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始提出问题“求函数最值是数学中常遇到的问题，然而在初等数学的范围内又没有一般通用的方法……”，激励学生探求一些具体方法．接着，引导学生联想到刚刚学过的不等式的有关知识，它与函数最值有无联系呢？从知识之间的联系入手让学生进行联想是探求问题的重要方法．当学生认识到它们之间的联系后，给出一个引例，通过探究解决此问题的最佳解法，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．

2．关于易错解法讨论设计的想法

正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，只是教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解．设计易错解法讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．

3．培养应用意识

教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用于客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，题目不是很难，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．