泉州七中2009-2010学年度上学期高二文科期中考数学试卷（实验班）
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泉州七中2009-2010学年度上学期高二文科期中考数学试卷（实验班）
考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人：陈炳烈
说明：本卷分第一卷和第二卷两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡相应的位置）．
1. 若 ，则下列不等式中，正确的不等式有 ( B )
① ② ③ ④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则a6=（ C）
A．3 B． C．± D．以上答案都不对
3．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（ C ）
A．所有被5整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被5整除
4．某船开始看见灯塔在南偏东30 方向，后来船沿南偏东60 的方向航行 45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( B )
A． 15km B． 15 km C．30km D．15 km
5. 下列四个命题:
⑴“若 则实数 均为 0” 的逆命题；
⑵ “相似三角形的面积相等“的否命题 ;
⑶ “ ”逆否命题;
⑷ “末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题 ，其中真命题为( C )
A. ⑴ ⑵ B.⑵ ⑶ C.⑴ ⑶ D.⑶ ⑷
6、已知椭圆 的长轴在 y 轴上，且焦距为4，则 m 等于（D）
A、4 B、 5 C 、7 D、8
7．若正实数a，b满足 ，则 + 的最小值是( A )
A．9 B．8 C． 6 D．4
8．在 ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 ，则角B的值为( D )
A． B． C． 或 D． 或
9．下列函数中，最小值为4的是（C ）
A． B．
C． D．
10、设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（A）
A、 B、 C、 D、
11.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则( B )
A.x+y≤2 +2 B.x+y≥2 +2 C.x+y≤（ +1）2 D.x+y≥（ +1）2
解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（ ）2.由xy－（x+y）=1得（ ）2－（x+y）≥1.∴x+y≥2+2 .
12．数列 满足a1=1， ，则使得 的最大正整数k为( D )
A．5 B． 7 C．8 D．10
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、实数x，y满足不等式组 ，则 的最大值是 5
14. 数列 中，已知 =1， = + ．则 等于 31
15. 已知 ，且 ，设 ：函数 在区间 内单调递减； ：曲线 与 轴交于不同的两点，若“p或q”为真，“p且q”为假的充要条件 。 或
16．如图，表中的数满足①第n行首尾两数均为n，②递推关系是除斜边上的数1，2，3，4，5，6…以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，则第n行的 第2个数是 。
第一行 ………………… 1
第二行 ………………… 2 2
第三行 ………………… 3 4 3
第四行 ………………… 4 7 7 4
第五行 ………………… 5 11 14 11 5
第六行 ………………… 6 16 25 25 16 6
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）设P：实数x满足 ，其中 ；q：实数x满足 或 。且 是 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17．解：由 得 ,
所以p: ---------------------4分
由 得 ；由 得 或
所以q： 或 ---------------------8分
由 是 的必要不充分条件 可得p是q的充分不必要条件．
所以 或
所以 a的取值范围为 {a| 或 }．---------------------12分
18．(本小题满分12分) 已知公差大于零的等差数列 的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 是等差数列，且 ，求非零常数c及数列 的通项公式
18．(本小题满分12分)
解：（I） 为等差数列， =22.
的两实根，
……（3分）
. ……（6分）
（II）由（I）知 ……（8分）
是等差数列，
……（10分）
又得 ……（12分）
19. (本小题满分12分) 已知 、 、 分别是 的三个内角 、 、 所对的边，
（1）若 面积 求 、 的值；
（2）若 ，且 ，试判断 的形状．
解：（1） ， ，得
由余弦定理得： ，
所以 ----------6分
（2）因为 ，
所以 。在 中， ，所以
所以 是等腰直角三角形。---------12分
20（本小题满分12分）0某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？
20．解:(Ⅰ）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
共
因此利润 ，令
解得： 所以从第4年开始获取纯利润．………………… 5分
（Ⅱ）年平均利润
（当且仅当 ，即n=9时取等号）…… 8分
所以9年后共获利润：12 =154（万元）
利润
所以15年后共获利润：144+10=154（万元） ……11分
两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①．………………… 12分
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21.（本小题满分12分）数列 的前n项和为 ，且满足 ，数列 中， ，且点 在直线 上，
（1）设 ，求使得 对所有的 都成立的最小正整数 ；
（2）设 ，试比较 与 的大小关系．
21、解：（1） 在直线 上， ，又
要使 所有的 都成立，必须且仅需满足
所以满足要求的最小正整数为 ，
（2） ，
相减得： ，又
相减得：
化简得
所以
22. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；
（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。
解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= ,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
|
由 |
x= |
得 |
x0=2x－1 |
|
y= |
y0=2y－ |
由,点P在椭圆上,得 ,
∴线段PA中点M的轨迹方程是 .
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入 ,
解得B( , ),C(－ ,－ ),
则 ,又点A到直线BC的距离d= ,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由 ≥－1,得S△ABC≤ ,其中,当k=－ 时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是 .