导数及其应用易错题剖析

【备课资料三】

导数及其应用易错题剖析

一、利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.　　

复合函数求导要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如 实际上应是，求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂。

[例1]已知,则.

错因：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.　　

正解：设,,则

.　　

练习巩固：在点x=3处的导数是____________.　　

二、不能正确理解导数与连续的关系，应用时出错。

若函数在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。

[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？

错解：。

分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导. 　　

解：

　　　∴f(x)在x=1处不可导.　　

注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.　　

练习巩固：函数在处不可导，则过点处，曲线的切线（）

A．必不存在　B．必定存在C．必与x轴垂直　D．不同于上面结论

三、求函数的切线方程忽视已知点与函数图像的位置关系。

[例3]求在点和处的切线方程。

错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。

分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；

点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．

解：

即过点的切线的斜率为4，故切线为：．

设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，

故，。

即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

[例4]求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.

分析：由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 　　

解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.　　

（2）令，得，当时，；当时，，

曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。

点评：在已知曲线切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 　　

练习巩固：已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.　　

错解：，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.　　

错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.　　

正解：设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率

，又，。①点在曲线上，

②，②代入①得

化简，得，或.若，则，过点的切线方程为；若，则，过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或

四、忽略函数在指定区间条件单调性的条件。

在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点.　　

(1)可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.　　

(2)求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.　　

[例5]已知函数在上是减函数，求的取值范围.　　

错解：在上是减函数，在上恒成立，

对一切恒成立，，即，.　　

正解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即且，.