数列求和问题中的七类错解问题剖析

【备课资料二】

数列求和问题中的七类错解问题剖析

一．正确使用求和公式的条件，特别是等比数列求和公式中q=1的情况。

求和：a +a²+a³+…+aⁿ.　　

错解： a+a²+a³+…+aⁿ＝.　　

错因：是（1）数列｛aⁿ｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.　　

正解：当a＝0时，a+a²+a³+…+aⁿ＝0;　　

当a＝1时，a+a²+a³+…+aⁿ＝n;　　

当a1时，a+a²+a³+…+aⁿ＝

练习巩固：设是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和.证明：。

错解：欲证

只需证＞2

即证：＞

由对数函数的单调性，只需证＜

－＝＝－

＜

原不等式成立.　　

错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.　　

正解：欲证

只需证＞2

即证：＞

由对数函数的单调性，只需证＜

由已知数列是由正数组成的等比数列，

>0,.　　

若,则－＝＝－＜0；

若,－＝＝－

＜

原不等式成立.　　

二、摆正前几项和与通项之间的关系避免错解

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.　　

错解：（1）a_n=3n+7;　　

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.　　

错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a₁=101,显然3n+7不是它的通项.　　

正解：（1）a_n=3n－2;　　

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.　　

三．由前n项和求通项时注意中并不包括首项。

[例2]已知数列的前n项之和为①②

求数列的通项公式。

错解： ①

②

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a_n＝S_n－S_n-1与的关系，没注意a₁=S₁.　　

正解：①当时，

当时，

经检验时也适合，

②当时，

当时，

∴

四．正确运用数列前n项和的性质解决求和问题

[例3]已知等差数列的前n项之和记为S_n，S₁₀=10，S₃₀=70，则S₄₀等于。

错解：S₃₀= S₁₀·2d.d＝30，S₄₀= S₃₀+d =100.　　

错因：将等差数列中S_m, S _2m－S_m, S　_3m－S　_2m成等差数列误解为S_m, S　_2m　, S　_3m成等差数列.　　

正解：由题意：得

代入得S₄₀＝。

练习巩固：已知等比数列的前n项和记为S_n，S₁₀=10，S₃₀=70，则S₄₀等于.　　

错解：S₃₀= S₁₀·q².q²＝7，q＝，S₄₀= S₃₀·q =.　　

错因：是将等比数列中S_m, S_2m－S_m, S_3m－S_2m成等比数列误解为S_m, S_2m, S_3m成等比数列.　　

正解：由题意：得，

S₄₀=.　　

五．正确运用数列前n项和通项公式的关系解决求值问题

[例4]等差数列、的前n项和为S_n、T_n.若求；

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令a_n=7n+1;b_n=4n+27.　　

错因：误认为

正解：。

六．正确运用数列前n项和的分段形式

[例5]已知一个等差数列的通项公式a_n=25－5n，求数列的前n项和；

错解：由a_n0得n5　　

前5项为非负，从第6项起为负，

S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=50(n5)　　

当n6时，S_n=｜a₆｜+｜a₇｜+｜a₈｜+…+｜a_n｜＝

S_n=

错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.　　

正解：

七．充分阅读数列应用题的内容材料从而或缺准确信息解决求和问题

[例6]一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？

错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a₁₉=a(1+r)¹⁸.　　

错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.　　

正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)¹⁸，

1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)¹⁷，

2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)¹⁶，

……

17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)¹，

a(1+r)¹⁸+ a(1+r)¹⁷+…+ a(1+r)¹

＝＝

答：取出的钱的总数为。