高三数学查漏补缺题
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一、三角部分
1．已知 且
（I）求 （或 ）；（II） 求
解（I） ，
.
（ ）
（II） ，
.
，
. .
解法2： ， ， .
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2．右图为函数 的一段图象.
（II）求与（I）中函数图象关于直线
对称的函数图象的解析式，并作出它一
个周期内的简图.
解：（I） 又
由 的图象过
（为其中一个值）.
∴ 为所求.
（II）设 为所求函数图象上任意一点，该点关于直线 对称点为 ，则点 必在函数 的图象上.
∴ ，即
的图象关于直线 对称的函数图象的解析式是
.
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0 |
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0 |
-3 |
0 |
3 |
0 |
二、概率
3．（文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）. 已知每辆车直行的概率是 ，左转行驶的概率是 ，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟. 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟，求：
（I）前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率；
（II）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）
解：（Ⅰ）前4辆恰有2辆左转行驶的概率
（Ⅱ）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率
.
4.（理科） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
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ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
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P |
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甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0× +1× +2× +3× = .
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P（A）= = = ，P（B）= = = .
因为事件A、B相互独立，
方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P（ ）=P（ ）P（ ）=（1－ ）（1－ ）= .
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P（ ）=1－ = .
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 .
方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P=P（A· ）+P（ ·B）+P（A·B）=P（A）P（ ）+P（ ）P（B）+P（A）P（B）
= × + × + × = .
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 .
三、立体几何
5．已知矩形ABCD中，AB= ，AD=1. 将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上.
（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；
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A |
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B |
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C |
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D |
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A |
|
B |
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C |
|
D |
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E |
方法1：
（Ⅰ）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，
即平面ACD经过平面BCD的垂线，
∴平面ADC⊥平面BCD.
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F |
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A |
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B |
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C |
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D |
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E |
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G |
且平面 平面 ＝
∴BC⊥平面ACD. ∵DA 平面ACD，
∴BC⊥DA.① 依条件可知DA⊥AB.
②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC.
设点C到平面ABD的距离为d，
∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D-ABC的高.
∴由VC-ABD=VD-ABC，得 dS△ABD= DAS△ABC.
解得d= .
即点C到平面ABD的距离为 .
（Ⅲ）解：取 中点 ，连 为 中点
由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，
则GF为EG在平面ABC的射影，
∴∠EGF是所求二面角的平面角.
在△ABC中
FG＝ BC＝ , 又EF AD，∴EF＝
在 △EFG中容易求出∠EGF=45°.
即二面角B-AC-E的大小是45°.
方法2：（Ⅰ）证明：如图，以CB所在直线为x轴，DC
所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.
所以C（0，0，0）， B（1，0，0），D（0，－ ，0），设
∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，
由 且 ,
得 .
∴点A的坐标为A（0， ， ）.
∵n1=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量.
而 =（1，0，0）是平面ADC的一个法向量.
∵n1· = （0，0，1）·（1，0，0）=0，
∴平面ACD⊥平面BCD.
（Ⅱ）解：设点C到平面ABD的距离为d，
∵ =（0， ，- ）， =（1， ， ），
=（0， ， ），
容易求出平面ABD的一个法向量为n2=（- ，1，-1） .
∴d=|| |cos< ，n2>|=|1× |= .
即点C到平面ABD的距离为 .
（Ⅲ）解：∵ = （-1，- ， ）， =（1，0，0），
∴容易求出平面ABC的一个法向量为n3= （0，1，1） .
A（0，- ， ），E（ ，- ，0），
∴ = （ ，0，- ）.
∴容易求出平面AEC的一个法向量为n4= （2， ， ） .
∵n3·n4=0+ + =2 ，| n3|= ，| n4|=2 ，
∴cos< n3，n4>= = .
∴二面角B-AC-E的大小是45°.
6*．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ NC1.
（Ⅰ）求证：AM 面BC ；（或若 为 的中点，求证： .）
（Ⅱ）若二面角B1－AM－N的平面角的余弦值为 ，求 的值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）的前提下，求点B1到平面AMN的距离.
解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，且AB=AC，所以AM BC，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 底面 , AM 又 .所以AM 平面 .
（或：连结 ， 又 , .）
（II）因为AM 平面
且 M 平面 ，NM 平面
∴AM M, AM NM，
∴ MN为二面角 —AM—N的平面角.
∴ ，设C1N= ，则CN=1－
又 M= ,MN= ,
连 N，得 N＝ ，
在 MN中，由余弦定理得
,
得 = .故 =2.
（III）过 在面 内作直线 ， 为垂足.又 平面 ，所以AM H.于是 H 平面AMN，故 H的长即为 到平面AMN的距离.在 中，
H＝ M .故点 到平面AMN的距离为1.
解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 （0，0，1），M（0， ，0）,
C（0,1,0）, A （ ），设N （0,1,a） ,所以，
， ,
因为 所以 ,同法可得 .
又 故AM 面BC .
（II）由（Ⅰ）知﹤ ﹥为二面角 —AM—N的平面角,以下同法一.
（Ⅲ）设n=（x,y,z）为平面AMN的一个法向量，则由 得，由（II）知
.
故可取
到平面AMN的距离为
四、解不等式
7．已知集合A＝ ，B＝ .
（I）当a＝2时，求A B；
（II）求使B A的实数a的取值范围.
解：（I）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）
∴ A B＝（4，5）
（II）解集合B＝ ，
当 ，则 B= ；当 ，则 B＝（2a，a2＋1），
解集合A＝
当a＜ 时，A＝（3a＋1，2）；当a＝ 时，A＝ ；
当a＞ 时，A＝（2，3a＋1）；
要使B A，
当 ，则 B= , B A成立；
当 ，则 B＝（2a，a2＋1），
当a＜ 时，A＝（3a＋1，2）要使B A，必须 ， 此时a＝－1；
当a＝ 时，A＝ ，而B ，故使B A的a不存在；
当a＞ 且 时，A＝（2，3a＋1），要使B A，必须 ， 此时1<a≤3.
综上可知，使B A的实数a的取值范围为
8．*（理）已知不等式： ----------①
--------------------------------------------②
------------------------------------------③
（I）分别求不等式①②的解集.
（II）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.
（III）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.
（文）已知不等式： ----------------------------------------------------①
--------------------------------------------②
------------------------------------------③
（I）分别求不等式①②的解集.
（II）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.
（III）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.
解：（I） ①的解集为A={x|－1<x<3}（理，且x≠0）
I ②的解集为B={ }
（II）由（1）: 或 知
要满足题意的要求，则方程2x2+mx－1=0的一根小于等于0（文：小于0），另一根大于等于3.
设f（x）= 2x2+mx－1，则 （文 ）
（III）要满足题意的要求，则方程2x2+mx－1=0的两根应在区间（－1，4]上.
设f（x）= 2x2+mx－1， 抛物线开口向上且f（0）＝－1<0, 故
则 .
五、数列
9．已知各项均为正数的数列 ， ， 其中 ，
（I）证明 ；
（II）设 ，试证明 ；
（III）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
（I）运用数学归纳法证明如下：
①当 时，由条件知 ，故命题成立；
②假设当 时，有 成立
那么当 时， 故命题成立
综上所述，命题 对于任意的正整数 都成立.
（II）
（III）
且
数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列.
.
10. 已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.
（I）若 ，求 ；
（II）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；
解:（I） .
（II） ，
，
当 时， .
六、解析几何
11．已知三点P（5，2）、 （－6，0）、 （6，0）.
（Ⅰ）求以 、 为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、 、 关于直线y＝x的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为 + ，其半焦距 .
，
∴ ，
，故所求椭圆的标准方程为 + ；
（II）点P（5，2）、 （－6，0）、 （6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、 （0，-6）、 （0，6）
设所求双曲线的标准方程为 ，由题意知半焦距 ，
，
∴ ，
，故所求双曲线的标准方程为 .
12．已知定点 点P在 轴上运动，M在x轴上，N为动点，且
;
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点 的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点 ， 的夹角为 ，求证：
解：（Ⅰ）
由 ①
0， 0，
即 并代入①，
得 即为所求.
（Ⅱ） 过点 的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点
设l的方程为 且
由 消去y，
得
设
则
.
七、函数与导数
13．已知函数 和 的图象关于y轴对称，且
（I）求函数 的解析式；
（II）解不等式 ；
解：（I）设点 为函数 的图象上任意一点，则点P关于y轴对称点为 ，因为函数 和 的图象关于y轴对称，所以点 一定在函数 图象上，代入得 ，所以 .
（II）
或 或
所以不等式的解集为
14．如图，等腰梯形 的三边 分别与函数 ， 的图象切于点 .求梯形 面积的最小值.
解: 设梯形 的面积为 ，点P的坐标为 .
由题意得，点 的坐标为 ，直线 的方程为 .
直线 的方程为
即：
令 得，
令 得，
当且仅当 ，即 时，取“=”且 ，
时， 有最小值为 .
梯形 的面积的最小值为 .
八、应用题
15．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（I）写出y与x之间的函数关系式；
（II）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）
（III）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床.
问用哪种方案处理较为合理？请说明理由.
解：（I）依题得：
（II）解不等式
（III）（1）
当且仅当 时，即x=7时等号成立.
到2015年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元.
（2）
故到2018年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元
因为盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理.
16*．甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在 、 两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从 、 两个喷雾器中分别取1千克的药水，将 中取得的倒入 中， 中取得的倒入 中，这样操作进行了 次后， 喷雾器中药水的浓度为 %， 喷雾器中药水的浓度为 %．
（Ⅰ）证明 是一个常数；
（Ⅱ）求 与 的关系式；
（Ⅲ）求 的表达式．
解：（Ⅰ）开始时， 中含有10 12%＝1.2千克的农药， 中含有10 6%＝0.6千克的农药， 次操作后， 中含有10 %＝0.1 千克的农药， 中含有10 %＝0.1 千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，
从而有 ，所以 ＝18（常数）.
（Ⅱ）第 次操作后， 中10千克药水中农药的重量具有关系式：
，
即 ，再由（1）知 ，
代入化简得 ①
（Ⅲ）令 ，利用待定系数法可求出 ＝－9，
所以 ，由①，
，
，
20080526
可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式知： ，
20080526
所以 .
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