§1.2.2复合函数的求导法则

§ 1.2.2复合函数的求导法则

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．

一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

函数	导数

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1． 2． 3．

（2）推论：

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。

复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

若，则

三．典例分析

例1（课本例4）求下列函数的导数：

（1）；（2）；

（3）（其中均为常数）．

解：（1）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

=。

（2）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

=。

（3）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有

=。

例2求的导数．

解：

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例3求的导数．

解：

，

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例4求y＝sin⁴x＋cos⁴x的导数．

【解法一】y＝sin⁴x＋cos⁴x＝(sin²x＋cos²x)²－2sin²cos²x＝1－sin²2x

＝1－（1－cos 4x）＝＋cos 4x．y′＝－sin 4x．

【解法二】y′＝(sin⁴x)′＋(cos⁴x)′＝4 sin³x(sinx)′＋4 cos³x(cosx)′

＝4 sin³xcosx＋4 cos³x(－sinx)＝4 sinxcosx(sin²x－cos²x)　　

＝－2 sin 2xcos 2x＝－sin 4x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

例5曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y＝－x³＋x²＋2xy′＝－3x²＋2x＋2

令y′＝1即3x²－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．

于是切点为P（1，2），Q（－，－），

过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为

＝．

四．课堂练习

1．求下列函数的导数(1)y=sinx³+sin³3x；（2）;(3)

2.求的导数

五．回顾总结

六．布置作业

七．教学反思