抛物线练习题
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抛物线练习题
一、选择题
1.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为 ( )
A.(1, 0) B.(2, 0) C.(3, 0) D.(-1, 0)
2.圆心在抛物线y 2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( )
A.x2+ y 2-x-2 y - =0 B.x2+ y 2+x-2 y +1=0
C.x2+ y 2-x-2 y +1=0 D.x2+ y 2-x-2 y + =0
3.抛物线 上一点到直线 的距离最短的点的坐标是 ( )
A.(1,1) B.( ) C. D.(2,4)
4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m ,若水面下降 1m ,则水面宽为( )
A. m B. 2 m C.4.5m D.9m
5.平面内过点A(-2,0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( )
A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x
6.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是 ( )
A. y 2=-2x B. y 2=-4x
C. y 2=2x D. y 2=-4x或y 2=-36x
7.过抛物线y 2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果x1+ x2=6,那么|AB|= ( )
A.8 B.10 C.6 D.4
8.把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a 平移,所得的曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
9.过点M(2,4)作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 ( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
10.过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则 等于 ( )
A.2a B. C.4a D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
11.抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4 ,则焦点到AB的距离为 .
12.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 .
13.P是抛物线y 2=4x上一动点,以P为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点Q,点Q的坐标是 .
14.抛物线的焦点为椭圆 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为
.
三、解答题(本大题共6小题,共76分)
15.已知动圆M与直线y =2相切,且与定圆C: 外切,求动圆圆心M的轨迹方程.(12分)
16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.(12分)
17.动直线y =a,与抛物线 相交于A点,动点B的坐标是 ,求线段AB中点M的轨迹的方程.(12分)
18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?(12分)
19.如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|= ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(14分)
20.已知抛物线 .过动点M( ,0)且斜率为1的直线 与该抛物线交于不同的两点A、B, .
(Ⅰ)求 的取值范围;
(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交 轴于点N,求 面积的最大值.(14分)
抛物线参考答案
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
答案 |
A |
D |
A |
B |
C |
B |
A |
C |
C |
C |
二.填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
11.2 12. 13.(1,0) 14.
三、解答题(本大题共6题,共76分)
15.(12分)[解析]:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为 .
16. (12分)[解析]:设抛物线方程为 ,则焦点F( ),由题意可得
,解之得 或 ,
故所求的抛物线方程为 ,
17.(12分)[解析]:设M的坐标为(x,y),A( , ),又B 得
消去 ,得轨迹方程为 ,即
18.(12分)[解析]:如图建立直角坐标系,
设桥拱抛物线方程为 ,由题意可知,
B(4,-5)在抛物线上,所以 ,得 ,
当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA’,则A( ),由 得 ,又知船面露出水面上部分高为0.75米,所以 =2米
19.(14分) [解析]:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.由题意可知:曲线C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为 ,
其中 分别为A、B的横坐标, .
所以, . 由 , 得
①
②
联立①②解得 .将其代入①式并由p>0解得 ,或 .
因为△AMN为锐角三角形,所以 ,故舍去 . ∴p=4, .
由点B在曲线段C上,得 .综上得曲线段C的方程为 .
20.(14分) [解析]:(Ⅰ)直线 的方程为 ,将 ,
得 . 设直线 与抛物线两个不同交点的坐标为 、 ,
则 又 ,
∴ . ∵ , ∴ . 解得 .
(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为 ,则由中点坐标公式,得
, .
∴ . 又 为等腰直角三角形,
∴ , ∴
即 面积最大值为