圆锥曲线的定点、定值、最值

§圆锥曲线的定点、定值、最值

1、过抛物线 (p>0)的顶点任意作两条互相垂直的弦、，求证：交抛物线的对称轴上一定点.

A

B

y

O

x

2、已知A、B是抛物线(p>0)上异于原点O的两个不同点，

直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且时，

证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

3、设分别为椭圆的左右焦点。

（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；

（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加证明。

4、（全国Ⅱ）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且（）．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．

（Ⅰ）证明为定值；

（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．

5、（07山东）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

6、椭圆上的两个动点及定点，为椭圆左焦点，且，，成等差数列.　　

求证：线段的垂直平分线经过一个定点；

设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.　　

7、(全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.

8、（重庆文）如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.

求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；

若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，

证明:为定值，并求此定值.　　

9、(全国Ⅱ)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．

10、（广东）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足．

（Ⅰ）求得重心的轨迹方程；

（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

§圆锥曲线的定点、定值、最值——参考解答

1、解析：以抛物线为例。不妨设，则直线的斜率是。于是，

即，

又

因而，直线方程为，令得

恒过定点

A

B

y

O

x

2、解：设A（ ），B（ ），则

，代入

得

（1）又设直线AB的方程为，则

∴，代入（1）式得∴直线AB的方程为∴直线AB过定点（-

3、解：（1）椭圆方程为，焦点坐标为；（2）线段的中点的轨迹方程；（3）类似特性的性质：若是双曲线：上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值。

中学试卷网版权所有http://www.shijuan.cn　　

设点的坐标为，点的坐标为，其中，又设点的坐标为，由得，将，代入上式得。

4、解：（I）由已知条件，得F（0，1），＞0.设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂).由=λ，

即得（－x₁, 1－y₁）=λ(x₂,y₂－1)，

将①式两边平方并把代入得y₁=y₂③

解②、③式得y₁=, y₂=,且有x₁x₂==－4y₂=－4.抛物线方程为

求导得

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

即，.　　

解出两条切线的交点M的坐标为（）=（－1）.　　

所以·=（－2）·（x₂－x₁,y₂－y₁）=()－2(－)=0　　

所以·为定值，真值为0.　　

（II）由（I）知在△ABM中，FM⊥AB，因而.　　

=====.因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=－1的距离，

所以|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=+2=（）.　　

于是=（）由≥2，知S≥4.　　

且当=1时，S取得最小值4.

5、解析：(I)由题意设椭圆的标准方程为

，

(II)设，由得

，

，.　　

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得，且满足.　　

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

6、证明：设知同理

①当，从而有设线段PQ的中点为，

得线段PQ的中垂线方程为

②当线段PQ的中垂线是x轴，

也过点（2）

由

，

7、（1）解：设椭圆方程为（a>b>0），A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，AB的中点为N(x₀,y₀)，

，两式相减及得到，所以直线ON的方向向量为，∵，，即，从而得

（2）证明∵，椭圆方程为，又直线方程为

又设M（x，y），则由得，代入椭圆方程整理得又∵，，

8、（Ⅰ）设抛物线的标准方程为，则，从而

因此焦点的坐标为（2，0）.

又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。

（Ⅱ）解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为，则

|FA|＝|AC|＝解得，类似地有，解得。　

记直线m与AB的交点为E，则

所以。　故。

解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。

　将此式代入,得，故。

　记直线m与AB的交点为，则，，故直线m的方程为.　令y=0,得P的横坐标

故　。从而

为定值。

9、解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），

且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为。

又PQ过点F（0,1），故PQ方程为，将此式代入椭圆方程得

设P、Q两点的坐标分别为、，则，

从而，

（1）当时，MN的斜率为－，同上可推得

故四边形的面积令，

得因为，

当时，，且S是以为自变量的增函数，所以

（2）当时，MN为椭圆长轴，，

综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为

10、解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则…（1）

∵OA⊥OB，即，　……(2)

又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得

∴，

所以重心为G的轨迹方程为．

（II）

由（I）得

当且仅当即时，．

所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1