§曲线的轨迹方程的求法

§曲线的轨迹方程的求法

【知识梳理】

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程

(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求

(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念

【强化练习】

1已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是()　　

A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线

2设A₁、A₂是椭圆=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A ₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为()　　

ABCD

3△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________

4双曲线=1的实轴为A₁A₂，点P是双曲线上的一个动点，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，A₁Q与A₂Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程

5已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A₁、A₂，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q

(1)求直线A₁P与A₂Q交点M的轨迹方程；

(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、离心率

6已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线ly=k(x+a)与曲线C　　

相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值

7.如图所示，已知P(4，0)是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

8.设点A和B为抛物线y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，

已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

9.某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

10.已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线

l1

l2

N

B

A

M

11.（1998理）如图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若△AMN是锐角三角形， |AM|= ，|AN|=3且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程。思路1：先判断曲线类型，后求方程。

12.如图，在直角坐标系中，已知矩形OABC的边长分别为OA=a，CO=b，点D在AO延长线上，

N

O

A

x

D

M

P

B

C

y

DO=a，设M、N分别是OC、BC边上的动点，且 ，求直线DM与AN的交点P的轨迹方程。

13.（福建2004）如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

14.已知点G是△ABC的重心，A(0,－1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足||=||，(∈R)．

⑴求点C的轨迹方程；

⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足||=||，试求k的取值范围．

§曲线的轨迹方程的求法——参考解答

1解析∵|PF₁|+|PF₂|=　2a　,|PQ|=|PF₂|,∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=　2a　,　　

即|F₁Q|=　2a　,∴动点Q到定点F₁的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆答案A　　

2解析设交点P(x,y）,A₁(－3,0),A₂(3,0),P₁(x₀,y₀),P₂(x₀,－y₀)　　

∵A₁、P₁、P共线，∴;∵A₂、P₂、P共线，∴

解得x₀=答案C　　

3解析由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴应为双曲线一支，且实轴长为,　　

故方程为答案

4解设P(x₀,y₀）(x≠±a),Q(x,y)∵A₁(－a,0),A₂(a,0)

由条件

而点P(x₀,y₀)在双曲线上，∴b²x₀²－a²y₀²=a²b²即b²(－x²)－a²()²=a²b²

化简得Q点的轨迹方程为a²x²－b²y²=a⁴(x≠±a)

5.解(1)设P点的坐标为(x₁,y₁)，则Q点坐标为(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),　　

则A₁P的方程为y=①

A₂Q的方程为y=－②

①×②得y²=－③

又因点P在双曲线上，故

代入③并整理得=1此即为M的轨迹方程

(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆

(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，离心率e=；

(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),离心率e=

6.解(1)∵点F₂关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|　　

又因为l为∠F₁PF₂外角的平分线，故点F₁、P、Q在同一直线上，设存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0)

|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=　2a　,则(x₁+c)²+y₁²=(　2a　)²

又得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀∴(2x₀)²+(2y₀)²=(　2a　)²，∴x₀²+y₀²=a²

故R的轨迹方程为x²+y²=a²(y≠0)　　

(2)如右图，∵S_△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB

当∠AOB=90°时，S_△AOB最大值为a²此时弦心距|OC|=

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

7.解设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理

在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)　　

又|AR|=|PR|=所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0　　

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动

设Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因为R是PQ的中点，所以x₁=,　　

代入方程x²+y²－4x－10=0,得－10=0　　

整理得x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程

8.解法一设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(x,y) (x≠0),直线AB的方程为x=my+a由OM⊥AB，得m=－

由y²=4px及x=my+a，消去x,得y²－4pmy－4pa=0　　

所以y₁y₂=－4pa,x₁x₂=

所以，由OA⊥OB，得x₁x₂=－y₁y₂所以

故x=my+4p,用m=－代入，得x²+y²－4px=0(x≠0)　　

故动点M的轨迹方程为x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

9.解设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则|PA|+|PO|=(1+r)+(15－r)=25　　

∴点P在以A、O为焦点，长轴长25的椭圆上，

其方程为=1①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，

其方程为(x－)²+y²=1②

由①、②可解得，∴r=故所求圆柱的直径为cm

10.解建立坐标系如图所示，设|AB|=　2a　,则A(－a,0）,B(a,0)

设M(x,y）是轨迹上任意一点

则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+　2a　(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0　　

(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)

(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x²+y²+x+a²=0点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆

11.解：分别以l₁、l₂为x轴、y轴，M为原点建立如图2所示平面直角坐标系。

作AE⊥x轴，AD⊥y轴，BF⊥y轴，垂足分别为E，D，F。设A（x_A,y_A）,B(x_B,y_B)，N（x_N,0）

l1

l2

N

B

A

M

依题意有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3　　

y_A=|DM|=，由于△AMN为锐角三角形，

故有

x_B=|BF|=|BN|=6.　　

设点P（x,y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合

{(x,y)| (x - x_N)²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y>0}　　

故所求曲线段C的方程为y²=8(x-2)(3≤x≤6，y>0)　　

12.解：设,则

则M（0，），N（，b），

N

O

A

x

D

M

P

B

C

y

于是直线DM方程为 ……①

直线AN方程为……②

由①、②消去λ得y²=

整理得直线DM与AN的交点P的轨迹方程（0，0）

13.解：设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).

分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，

则.

y=x²

由消去x，得y²–2(k²+b)y+b²=0.③

y=kx+b

y₁+y₂=2(k²+b)，

则

y₁y₂=b².

方法一：∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+）.

方法二：由P、Q、T三点共线得k_TQ=K_TP，即=.

则x₁y₂–bx₁=x₂y₁–bx₂，即b(x₂–x₁)=(x₂y₁–x₁y₂).于是b== –x₁x₂.

∴==+=+≥2.

∵可取一切不等于1的正数，∴的取值范围是（2，+）.

14．[解析]⑴设C(x, y)，则G(,)．∵(∈R)，∴GM//AB,　　

又M是x轴上一点，则M(, 0)．又||=||，∴，

整理得，即为曲线C的方程．

⑵①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有||=||．

②当k≠0时，可设l的方程为y=kx＋m，

联立方程组y=kx＋m　　

消去y，整理行(1＋3k²)x²＋6kmx＋3(m²－1)=0（*）

∵直线l和椭圆C交于不同两点，∴△=(　6km　)²－4(1＋3k²)×( m²－1)＞0，

即1＋3k²－m²＞0．(1)

设P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，则x₁, x₂是方程（*）的两相异实根，

∴x₁＋x₂=－则PQ的中点N(x₀, y₀)的坐标是

x₀==－，y₀=kx₀＋m=，

即N(－,)，又||=||，∴⊥，

∴k·k_AN=k·=－1，∴m=.将m=代入(1)式,　　

得1＋3k²－()²＞0（k≠0），即k²＜1，∴k∈(－1, 0)∪(0, 1)．

综合①②得，k的取值范围是(－1, 1)．