线段的定比分点
教学重点:1、准确理解和掌握定比分点的有关概念;
2、掌握定比分点坐标公式及其推导方法与应用。
教学难点:1、定比分点的有关概念及定比分点坐标公式的推导方法;
2、暴露公式推导中所蕴涵的数学思想与方法。
教学目标
⑴掌握定比分点的有关概念、定比分点坐标公式及公式的推导方法和应用。
⑵领悟到公式推导中蕴涵的数学思想,并在推导过程中培养学生的思维能力和创新能力,以及对知识的应用能力。
⑶感悟如何去分析问题、提出问题并解决问题的思维过程,学会自主学习。
⑷培养学生勇于探究、善于探究的精神,从而养成学生良好的数学学习品质。
教学方式:启发式、探究式
教具使用:多媒体
教学过程:
一、设置情景
中国驻南极的科考站派出的科考车在科考站附近的两个地点
、 之间进行实地考察(如图), 在科考站北偏西距离10公里的地方, 在科考站北偏东距离20公里的地方。科考车按一定速度从 到 直线行驶需3个小时。一天,科考站收到消息,科考车从 出发2小时到 处时出现故障,现从科考站派出的救援车若按一定速度行驶,则应朝哪个方向行驶可最快赶往出事点 处?
二、探究引入与揭示课题
问题一:
针对以上实际问题,请同学们提炼出一个数学模型。(展示学生的成果)
①已知点 、 ,有一点 使 ,求 点坐标
②已知点 、 ,直线 上有一点 使 ,求 点坐标
③已知点 、 ,线段 上有一点 使 ,求 点坐标
问题二:
哪几个表述是可以解决的?
(通过分析,学生会发现只有③可以确定解决,①解决不了,而②包含有两种情况,其中一种就是③,那另一种情况呢?引导学生对②进行分类,得出以下两种表述)
④已知点 、 ,线段 延长线上有一点 使 ,求 点坐标
⑤已知点 、 ,线段 反向延长线上有一点 使 ,求 点坐标
问题三:
③④⑤的表述有哪些异同?可以用什么更简洁的表述形式来代替这些表述?
(引导学生归纳出:③④⑤的表述都可用下面的形式代替就)
问题四:
取何值时分别代表③④⑤的意义?
点 在线段 上 ;
点 在线段 延长线上 ;
点 在线段 反向延长线上
三、概念的形成及公式的推导
定义:
设 、 是直线 上的两点,点 是 上不同于 、 的任意一点,则存在一个实数 ,使 , 叫做点 分有向线段 所成的比。
点 在线段 上 ;
点 在线段 延长线上 ;
点 在线段 反向延长线上
方法1:
构造直角三角形如图,
利用 与 相似,
得出 ,
解得
方法2:
……①
把①式叫做有向线段 的定比分点的坐标公式.
小结:⑴横坐标、纵坐标分别在两个式子中;
⑵两式结构一样,都有 和三个坐标四个量,都是知三求一.
四、巩固练习
练习一:
试用定比分点的坐标公式解决刚开始的情境问题
练习二:
看图填空:
分 所成的比 ;
分 所成的比 ;
分 所成的比 ;
分 所成的比 ;
练习三:
已知两点 , ,求点 分 所成的比 及 的值.
练习四:
求连结下列两点的线段的中点的坐标
⑴ ;⑵ ;
⑶ .
五、小结:
1、分点分有向线段所成的比的定义,以及对定比 的不同要求;
2、有向线段的定比分点的坐标公式及公式的结构特征;线段的中点坐标公式;
3、蕴涵于探索概念和公式推导中的思想方法
作业 —习题5.5—1、2.
课后思考:你认为本结课所学的公式与推导公式的方法哪个更重要?