图象过定点问题例析

《备课资料六》

图象过定点问题例析

　　函数图象过定点问题是高中数学中一类重要的题型，是研究函数性质的重要组成部分．通过对这类问题的研究，有助于加深对函数图象和性质的理解和应用．下面结合数学①介绍一下解决这类问题的常用解题策略．

1．指数型函数利用 （其中，且a≠1）

　　例1　已知函数（，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．

　　解析：令得，，因此函数（，且a≠1）的图象恒过定点P（1，2）．

　　例2　求证函数的图象过定点．

　　证明：令，解得或．

　　当时，；

　　当时，．

　　故函数（其中，且）的图象过定点（0，1）和（1，0）．

2．对数型函数利用（其中a>0，且a≠1）

　　例3　已知函数（其中a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．

　　解析：令，得，，因此函数（其中a>0，且a≠１）的图象恒过定点P（4，1）．

3．幂函数型函数利用（a∈R），（a>0），（或，k∈N）．

　　例4　已知函数，（，k∈Ｎ）的图象恒过定点P，则点P的坐标是_______．

　　解析：令，则原函数变为，∵为幂函数且幂指数为正奇数，∴其通过的定点为（1，1），（0，0），（－1，－1）．

　　即，，，

　　解得，，或．

　　所以函数，（，k∈Ｎ）的图象恒过定点（log₂3，0），

（1，－1），（0，－2）．

4．利用奇函数的性质

　　若函数是定义在实数集R上的奇函数，且在处有定义，则＝0．

　　例5　已知函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象通过的定点坐标为_____________．

　　解析：∵函数是定义在R上的奇函数，

　　∴f（0）＝0，即函数的图象恒过原点（0，0）．令得x=±1，

　　∴函数的图象通过的定点坐标为（－1，2），（1，2）．

　　学完了以上这些例题，下面这道练习的第（1）问就能轻易求解了，这下你知道函数过定点的“厉害”了吧！本练习只是抛砖引玉，说明函数过定点在解题中的应用．有兴趣的同学可以接着做第（2）问，相信你可以把它解决的．

　　练习：已知定义域为R的函数是奇函数．

　　（1）求a，b的值；

　　（2）若对任意的t∈R，不等式恒成立，求k的取值范围．

　　参考答案：（1）；（2）．