2.1.2空间两条直线的位置关系

2.1.2空间两条直线的位置关系

教学目的：

1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.　　

2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.　　

3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；

4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角

教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.　　

教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.　　

教学过程：

一、复习引入：

把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？

（每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）

二、讲解新课：

1 　　　　空间两直线的位置关系

（1）相交——有且只有一个公共点；

（2）平行——在同一平面内，没有公共点；

（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；

2 　　　　平行直线

（1）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：．

说明：公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；

（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．

已知：和的边，并且方向相同，

求证：．

证明：在和的两边分别截取，

∵，

∴是平行四边形，

∴，同理，

∴，即是平行四边形，

∴，∴，

所以，．

(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.　　

指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.　　

3.空间两条异面直线的画法

4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：与是异面直线

证明 ：（反证法）假设 直线与共面，

∵，∴点和确定的平面为，

∴直线与共面于，∴，与矛盾，

所以，与是异面直线．

5．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上

异面直线所成的角的范围：

6．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．

7．求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求

三、讲解范例：

例1已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形

分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例

证明：如图，连接BD　　

∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,EH=BD.　　

又在△BCD中，，∴FG//BD,FG=BD.　　

根据公理4，EH//FG　　

又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等

例2如图，是平面外的一点分别是的重心，

求证：．

证明：连结分别交于，连结，

∵分别是的重心，

∴分别是的中点，

∴，又∵，

∴，由公理4知．

例3 　　　　如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点

求证：和是异面直线

证（法一）：假设和不是异面直线，

则与在同一平面内，设为，

∵，∴，又，∴，

∵，

∴，

同理，∴共面于，与已知不共面相矛盾，

所以，和是异面直线

（法二）：∵，∴直线确定一平面设为，

∵，∴，∴且，

又不共面，，∴，所以，与为异面直线

例4正方体中．那些棱所在的直线与直线是异面直线？求与夹角的度数．那些棱所在的直线与直线垂直？

解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，

（2）由，可知等于异面直线与的夹角，所以异面直线与的夹角为．

（3）直线与直线都垂直

例5两条异面直线的公垂线指的是()　　

(A)和两条异面直线都垂直的直线

(B)和两条异面直线都垂直相交的直线

(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段

(D)和两条异面直线都垂直的所有直线翰林汇

答案：B　　

例6在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有()　　

(A)2条(B)3条(C)4条(D)5条

答案：BB₁, CC₁, A₁B₁, C₁D₁共四条故选C.　　

例7若a、b是两条异面直线，则下列命题中，正确的是()　　

(A)与a、b都垂直的直线只有一条

(B)a与b的公垂线只有一条

(C)a与b的公垂线有无数条

(D)a与b的公垂线的长就是a、b两异面直线的距离翰林汇

答案：B　　

例8已知正方体ABCD－A₁B　₁C　₁D₁的棱长为a，则棱A₁B₁所在直线与面对角线BC₁所在直线间的距离是()

（A）（B）a（C）（D）翰林汇

答案：A　 　　　　　

四、课堂练习：

1　 　　　判断

（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）

（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（）

（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（）

（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）

（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）

（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）

答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√

2．选择题

（1）“a，b是异面直线”是指

①a∩b=Φ且a不平行于b；②aÌ平面a，bÌ平面b且a∩b=Φ

③aÌ平面a，bË平面a④ 不存在平面a，能使aÌa且bÌa成立

上述结论中，正确的是（）

（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④

（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）

（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对

（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）

（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线

（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线

（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()　　

（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面

答案：（1）C（2）C（3）A（4）D　　

3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？

答：不一定，还可能异面．

4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？

答：三种：相交，平行，异面．

5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．

解：

6．选择题

（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）

（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能

（2）异面直线a,b满足aÌa,bÌb,a∩b=，则与a,b的位置关系一定是（）

（A）至多与a，b中的一条相交（B）至少与a，b中的一条相交

（C）与a，b都相交（D）至少与a，b中的一条平行

（3）两异面直线所成的角的范围是（）

（A）（0°,90°）（B）[0°,90°)（C）（0°,90°]（D）[0°,90°]　　

答案（1）D（2）B（3）：C

7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）

（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线（）

（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）

（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）

答案：×，×，√，×

五、小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；

证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一 般步骤是：“作—证—算—答”