§3.1.1 方程的根与函数的零点

§ 3.1.1方程的根与函数的零点

泉州七中陈修雄

一、教学目标

1．知识与技能

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

②培养学生的观察能力．

③培养学生的抽象概括能力．

2．过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．

②让学生归纳整理本节所学知识．

3．情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点、难点

重点零点的概念及存在性的判定．

难点零点的确定．

三、学法与教学用具

1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

2．教学用具：投影仪。

四、教学设想

(一)创设情景，揭示课题

1、提出问题：一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数

y=ax²+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

（用投影仪给出）

①方程 与函数

②方程与函数

③方程与函数

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

（二）互动交流研讨新知

函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

函数零点的求法：

求函数的零点：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

①代数法；

②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数

．

（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数的图象：

① 在区间上有零点______；

_______，_______,　　

·_____0（＜或＞＝）．

② 在区间上有零点______；

·____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数的图象

① 在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

② 在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

③ 在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

（三）、巩固深化，发展思维

1．学生在教师指导下完成下列例题

例1．求函数f(x)=㏑x＋2x－6的零点个数。

问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

2．P97页练习第二题的（1）、（2）小题

（四）、归纳整理，整体认识

1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请　向　老师提出。

（五）、布置作业

P102页练习第二题的（3）、（4）小题。