“用二分法求方程的近似解”教学设计

“用二分法求方程的近似解”教学设计

一、内容和内容解析：

《用二分法求方程的近似解》是安排在高中课程标准实验

教科书数学（人教版A版）必修1第三章第1节第二课时的内容。

是在学生学习了函数的基本知识、指数函数和对数函数之后，以

及介绍了方程的根与函数的零点的基础上提出来的。函数与方

程是结合函数的图象，通过数形结合处理方程的方法，借助计

算器用二分法求方程的近似解。二分法求方程的近似解也是必

修3中算法应用的范例，为必修3中的算法学习作准备，为学生

进入大学进行计算方法学习提供了初步的认识。基于此，本节

课的重点内容是二分法基本思想的理解；借助计算器用“二分

法”求给定方程近似解。

　　二、目标和目标解析：

　　1、理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学

计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解。

让学生了解到，在数学领域能求出精确解的方程是少数的，绝

大多数方程的精确解都不可能求出的，体会到探索求方程满足

一定精确度要求的近似解的方法成为数学研究的重要任务。

　　2、体验求方程近似解的二分法的这种数学理论形成的过

程，感受数学内部方程与函数之间的联系及其认识该联系的重

要性和应用价值，使学生更深刻地理解逐步逼近思想，更深刻

地理解二分法的本质。

　　3、通过多处启发学生利用直观想象分析问题来培养学生的

直观想象能力，通过让学生概括二分法的思想和归纳二分法的

步骤培养学生的归纳概括能力，在培养逻辑思维的同时注重非

逻辑思维的培养。

　　三、教学问题诊断分析：

　　1、二分法求方程近似解的条件

　　学完本节知识后，可能会有学生会提出这样的问题：是不

是所有的方程的解都可采取二分法求方程近似解？这时可通过

实例向学生说明用二分法求方程近似解的条件：对于在区间

上连续的函数 , 若 ，则 在区间 内有零

点；反之，结论不一定成立。例如用二分法求方程的近似解不

能解决方程（函数）有偶次重根时的问题，如 在包含零

点0的任何区间 上，都有 。因而 是保

证连续函数在 存在零点的充分条件，而不是必要条件。即连

续函数在 存在零点，并不一定能保证该函数在区间 上有

。

　　2、二分法中区间端点的确定

　　若在 上的连续函数 满足 ，则 在

上有零点。在二分法求近似解过程中，取 ，计算 ，如

何确定逼近后的区间是 ，还是 呢？教学中要让学生意识

到如果 恰好为0，则c就是该方程的根；若 ≠0，再由

或 的符号判断根所在的区间。

　　3、方程近似解的初始区间的确定

在确定方程的近似解所在的区间时，学生有可能会扩大所

找的区间，在为接下来的二分法缩小到更小的区间的范围带来

难度，教材中都是通过图象观察而得到方程的解的初始区间，因

而如何作出函数图象进行观察，尤其是指数函数、对数函数的

图象的画法往往是解决问题的前提。

　　4、二分法操作的终止

　　在实际问题求方程的近似解，都存在着预定精确度的限制问

题，由于学生还没有算法的基本思想，对为什么要令 或

令，是不易讲明白的，这只能让他们在具体操作中去体会。

　　5、综合以上分析，确定本节课的难点是：求方程近似解的

一般步骤的概括和理解。

　　四、教学支持条件分析

　　教学过程中可以从学生比较熟悉的幸运52中的商品价格的

猜法出发，注重让学生感受生活中也大量存在二分法这种思维，

这为本节课用二分法求方程根的近似解奠定了基础，使学生一比。

　　五、教学过程设计

　　较容易理解“二分法”的含义；二进一步体会“数学就在

我们身边”，“数学是有用的”等新课程理念。

（一）创设情境，引入新课

　　设计意图：由学生熟知的竞猜商品的价格入手，激发学生

的求知欲。

师：大家先来看一段录像。

（放映CCTV2幸运52片段）主持人李咏说道：下面是竞猜

价格环节。（他出示一台手机）请在三十秒内猜出这件商品的价

格。选手甲：2000！李咏：高了！选手甲：1000！李咏：低了！

选手甲1700！李咏：高了！选手甲：1650！……李咏：很遗憾，

时间到！

　　如果让你来猜这件商品的价格，你会如何去猜？

生1—先初步估计一个价格，如果高了再每隔十元降低报

价。

生2—这样太慢了，先初步估计一个价格，如果高了每隔100

元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元

降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……

生3—我觉得可以先报2000元，他不是说高了嘛，那就报

1000元，低了，我就报两个价格和的一半1500元；如果高了，

再报1500与1000和的一半1250；如果低了，我就报2000与150

和的一半1750。反正按这种思路进行下去。一般能在30秒之内

猜出手机的价格。

师—其实，在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如

南塘大桥上的电线有一截出故障了（南塘大桥约长200米），你

觉得应该象第一位同学那样1米1米测量呢，还是象第二位同学

那样10米10米测量呢，还是象第三位同学那样先测100米，再

测50米……

生4—象第三位同学那样，我觉得会快点。

师—那么我们能否采用这种逼近的方法解决一些数学问题

呢？引出课题——用二分法求方程的近似解。

（二）二分法思想的了解：解方程

　　问题1、一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来

的根，联系函数的零点与相应方程根的关

求方程

系，能否利用函数的有关知识求它的根呢？

　　设计意图：以问题“解方程 ”引起学生认知

冲突：过去解方程的经验和方法不能求解此方程，激起进一步

探究的欲望。

　　学生—自行积极交流，运用以往解方程的经验如换元、变

形转换等求解该方程，均失败。

　　师—对于简单的方程我们可以通过变形、换元或求根公式

得到它们的解，但对于大多数类型的方程来说，我们是难以求

出方程的精确解的；而现实中，许多实际问题也不需要精确解，

而只需要求出符合一定精确度的近似解就可以了。进一步提示

学生：方程的解与对应函数的零点有什么关系？

　　众学生—方程 ＝0有实数根 函数 有零点。

　　师—看来，零点所在的范围也就是方程的近似解所在的范

围。因此求方程的更为精确的近似解或函数零点更为精确的近

似值，直观上就是去探求零点所处的更小的范围。也就是说，求

方程近似解可以转化为不断缩小零点所在范围或区间问题。

　　问题2、如何缩小零点所在范围？或者如何得到一个更小的

区间，使得零点还在里面？

　　设计意图：进一步将思维引向纵深处，让学生自主思考缩

小范围的方法手段，产生逐步逼近思想和二分法思想。

　　师—下面我们通过一个具体的例子来看。由上节课内容可

和 的图象可知，

知，通过作函数

在区间（2，3）有零点，也就是说方程

的解必在区间（2，3）内。如何缩小零点所在范

围（缩小方程的解所在的范围）？

　　生5—看零点在（2，2.5）内还是在(2.5，3)内。

　　（有了价格竞猜的基础，学生比较容易接受将区间进行二等分）

　　师—很好，如果能确定的话，零点所在的范围就缩小了。问

题是你如何判断？为什么将区间对半分？

　　生5—对半分具有对称性嘛，而且这样缩小区间所在的范围

或

也比较快。根据零点判断的方法，我们只要判断

的符号就可以，我通过计算器得到 是正的，

而 是负的，所以零点在区间（2.5，3）内。

　　师—能不能将零点所在的范围进一步缩小？

　　生6—只要重复刚才的步骤就可以。取2.5和3的平均数

2.75，将区间（2.5，3）分成（2.5，2.75）和（2.75，3），判

断零点在哪个区间内。

　　师—很好，又进了一步，区间的范围再次缩小。如果重复

上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小。这样，在一定精

确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所

在区间内的任意一点作为函数零点的近似值。

　　生7—那进行到哪个步骤停止呢？一般要算几次啊？

　　师—由题目要求的精确度而定。例如，当精确度为0.01时，

只要将区间右端值减去左端值，若结果小于0.1，就进行到这一

步。（把区间右端值减去左端值叫做区间的长度）。我们把这种

方法叫做二分法。

　　例如 ，因此可判断零点在区间

（2.5390625,2.53125）内，且2.5390625-2.5312＜

0.01,所以我们可将（2.5390625,2.53125）内的任一实数作为该

方程的近似解。

　　揭示二分法的定义：对于在区间 上连续不断且

的函数，通过不断地把函数 的零点所在的区间

一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近

似值的方法叫做二分法。

强调运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。

（三）例题分析

设计意图：通过例题，熟悉用二分法求方程的近似解。

例1、根据表格中的数据，可以断定方程 的一个

根所在的区间是（ ）

A (-1,0)         B (0,1)         

师—我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？

生8—

师—有了这个依据，本题应选什么？为什么？

生9—设

, ,

故选C

师—现在，判断某根所在区间有哪些方法？

生10—画图或利用函数值的正负来判断。

（四）二分法求方程的近似解的步骤归纳

设计意图：通过归纳二分法求方程的近似解的步骤，培养

学生的归纳和概括能力，完善学生的认知结构。

师—在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上，你能

归纳二分法求解方程 f(x)=0[或g(x)= h(x)]近似解的基本步骤吗？

生—积极思考，根据例题归纳二分法求解方程的步骤。

师生一起—①画图或利用函数值的正负，确定初始区间

，验证 ；

的中点 ；

②求区间

③计算

：若 ＝0，则 就是函数 的零点，就是

＝0的根，计算终止；

若 ，则选择区间 ；

若 ，则选择区间 ；

④循环操作②、③，直到当区间的长度不大于要求的精确

度才终止计算。

（五）课堂小结

师—请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经

掌握了哪些知识？

（学生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点

知识）

1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。

2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。

3、 可以利用函数的图象来判断方程根的个数。

（六）作业设计：第102页第2、3、4。

六、目标检测设计

本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索，激发学生的

学习动机，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知

结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥

=0.0078125

学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴

望的奖励结构。□