传送带能量问题

传送带能量问题

1．如图所示，光滑水平面MN上放两相同小物块A、B，左端挡板处有一弹射装置P，右端N处与倾斜皮带理想连接，使带保持运行速度为V=4m/s，两端高度差为h=1.6m，物块A、B与皮带间滑动摩擦因素，皮带倾角为。已知物块A、B质量均为m_A=m_B=1kg。开始时A、B静止，A、B间压缩一轻质弹簧，贮有弹性势能E_pk=16J。现解除锁定，弹开A、B。求：

（1）物块B沿皮带上滑的最大高度。

（2）物块B滑回水平面MN的速度V_B。

（3）若弹开后B不能上滑至平台Q，将下滑至水平面MN，与被弹射装置P弹回的A，在水平面上相碰，且A、B碰后互换速度，则弹射装置P必须给A做多少功才能让AB碰后B能滑上平台Q。

解：（1）解除锁定弹开AB过程中，机械能守恒有：

…………① （2分）

取向右为正，动量守恒有：P_前=P_后，即0=m_A(－V_A)+m_BV_B…………② （2分）

由①②得 （2分）

B滑上皮带减速运动，设上滑距离为S，则由动能定理，W=△E_k有：

…………③ （2分）

（2分） （2分）

（2）物块B将沿皮带加速下滑，因，当物块速度与皮带速度一致时一起匀速运动，到一起匀速运动下滑的距离，有……④ （2分）

（2分）

即刚好下滑至N处，B以向左滑上水平面MN.

（3）设弹射装置给A做功为，…………⑤ （2分）

设AB碰后A的速度为，B为，则=………………⑥

B要滑上平台Q，由能量关系有：. ⑦

……………………⑧

由⑤⑥⑦⑧得

（J） （2分）

2．（25分）如图所示，质量m1=1.0kg的物块随足够长的水平传送带一起匀速运动，传送带速度v_带=3.0m/s，质量m₂=4.0kg的物块在m₁的右侧L=2.5m处无初速度放上传送带，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.10，碰后瞬间m₁相对传送带的速度大小为2.0m/s，求碰撞后两物块间的最大距离．

解：以地面为参照物，由牛顿第二定律可得碰撞前m₂向右的加速度

a=f₂/m₂=μm₂g/m₂=μg=1.0m/s²

碰撞前运动时间内m₁与 m₂位移关系

s₁= s₂+L 即v_带t=at²/2+L

代入数据解得:　t=1.0s

t^/=5.0s（不合题意舍去）

碰前m₁随传送带匀速运动速度为v_１= v_带=3.0m/s，

碰前瞬间m₂的速度v₂=at=1m/s，

碰后瞬间m_１的速度v₁^/= v_１－2.0m/s=1.0m/s，

碰撞瞬间由动量守恒定律有: m₁v_１+ m₂v₂= m₁v₁^/+ m₂v₂^/

代入数据解得: v₂^/=1.5m/s

碰后m₁和m₂均作匀加速运动至与传送带相对静止，由于v₂^/> v₁^/，其加速度均为a，此过程中总有m₂均大于m₁的速度，故二者都相对传送带静止时距离最大（设为s_m）．

m₁相对滑动的时间为: t_１=( v_１－v₁^/)/a=2.0s

m₂相对滑动的时间为: t₂=( v_１－v₂^/)/a=1.5s

m₁相对滑动的时间内m₂先加速后匀速，则

s_m= s_2m－s_1m= v₂^/t₂+a t₂²/2+ v₂( t_１－t₂)－(v₁^/t₁+a t₁²/2)=0.875m

3．如图所示，足够长的水平传送带始终以大小为v=3m/s的速度向左运动，传送带上有一质量为M=2kg的小木盒A，A与传送带之间的动摩擦因数为u=0.3,开始时，A与传送带之间保持相对静止，先后相隔△t=3s有两个光滑的质量为m=1kg的小球B自传送带的左端出发，以v₀=15m/s的速度在传送带上向右运动。第一个球与木盒相遇后，球立即进入盒中与盒保持相对静止，第二个球出发后历时△t₁=s而与盒相遇。求：（g取10m/s²）

（1）第一个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度是多大？

（2）第一个球出发后经过多长时间与木盒相遇？

（3）自木盒与第一个球相遇至与第二个球相遇的过程中，由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少？

解：（1）由动量守恒定律得：

得

（2）第一个球与盒子相遇处离传送带的左端的距离为s，要求的时间为t₀即 （1）由牛顿运动定律得：

得

木盒减速 （2）

再加速到v=3m/s时所用时间 （3）

故木盒在2s内的位移为零

所以 （4）

联立各式得

（2） 木盒相对传送带的位移

产生的热量

或

4．如图2-2-13（甲）所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平．一个小物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，然后落到地面的C点，其落地点相对于B点的水平位移为OC＝L．现在轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端B′与B点相距为L/2，当传送带静止时，让物体P再次由A点自静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行一段后从传送带右端水平飞出，仍然落在地面上的C点．当驱动轮转动带动传送带以速度v匀速向右运动（其他条件不变）时，物体P的落地点变为D，如图2-2-13（乙）所示．问：

（1）求P滑至B点时的速度大小；

（2）求P与传送带之间的动摩擦因数；

（3）传送带的速度时，OD间的距离为多少?

解：（1） （2）出，在空中运动的时间也为t，水平位移为，因此物体从传送带右端抛出的速度

根据动能定理，物体在传送带上滑动时，有．　

解出物体与传送带之间的动摩擦因数为

（3）当时，物体先做减速运动，再做匀速运动，最终以速度飞出

所以OD间距离为

5．（22分）如图所示为一货物传送货物的传送带abc. 传送带的ab部分与水平面夹角

α=37°，bc部分与水平面夹角β=53°，ab部分长度为4.7m，bc部分长度为3.5m. 一个质量为m=1kg的小物体A（可视为质点）与传送带的动摩擦因数μ=0.8. 传送带沿顺时针方向以速率v=1m/s匀速转动. 若把物体A轻放到a处，它将被传送带送到c处，此过程中物体A不会脱离传送带.（sin37°=0.6，sin53°=0.8，g=10m/s²）

（1）物体A从a处被传送到b处所用的时间；

（2）在传送物体从a至c的全过程中，由于物体与传送带之间的摩擦产生的热量.

解：（1）物体A轻放在a点后在摩擦力和重力作用下先做匀速直线运动直到和传送带速度相等，然后和传送带一起匀速运动到b点。

在这一加速过程中有加速度

……①

运动时间…………②

运动距离……③

在ab部分匀速运动过程中运动时间

……④

所以物体A从a处被传送到b和所用的时间

……⑤

（2）物体A在传送带ab部分发生相对滑动过程

由于物体A运动的距离s₁=1.25m

传送带运动的距离s₂=vt₁=2.5m……⑥

物体A相对传送带运动的距离……⑦

此过程由于摩擦产生的热量

……⑧

由于mgsinβ>μmgcosβ，……⑨

所以物块沿皮带bc部分一百加速运动到c点，则物体A在传送带bc部分滑动过程由于摩擦产生热量

……⑩

在传送物体过程中，由于物体与传送带之间的摩擦产生的热量

J…………11

评分标准：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩、11式各2分。

6．（2003年·全国理综）一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切.现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h，稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L，每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）．已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N.这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦.求电动机的平均输出功率．

【答案】[＋gh]

解析：以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v₀，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有

s＝1/2at²①

v₀＝at②

在这段时间内，传送带运动的路程为

s₀＝v₀t③

由以上可得

s₀＝2s④

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

A＝fs＝1/2mv₀²⑤

传送带克服小箱对它的摩擦力做功

A₀＝fs₀＝2·1/2mv₀²⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量

Q＝1/2mv₀²⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等．

T时间内，电动机输出的功为

W＝T⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

W＝1/2Nmv₀²＋Nmgh＋NQ⑨

已知相邻两小箱的距离为L，所以

v₀T＝NL⑩

联立⑦⑧⑨⑩解得＝[＋gh]

7．如图所示，在工厂的流水线上安装有水平传送带，用水平传送带传送工件，可大大提高工作效率.水平传送带以恒定的速率v=2m/s运送质量为m=0.5kg的工件，工件都是以v₀=1m/s的初速度从A位置滑上传送带，工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件立即滑上传送带，取g=10m/s²，求：

（1）工件滑上传送带后经多长时间停止相对滑动；

（2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离；

（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功；

（4）每个工件与传送带之间的摩擦产生的内能．

【答案】（1）0.5s；（2）1m；（3）0.75J；（4）0.25J

解析：（1）工件的加速度a=μg=2m/s²

工件相对传送带静止所需的时间

（2）在t=0.5s内传送带相对地的位移即是正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离

s=vt=2×0.5m=1m

（3）由动能定理得

（4）工件对地位移m

则工件相对传送带的位移大小△s=s－s′=0.25m

产生的摩擦热Q=μmg△s=0.2×0.5×10×0.25J=0.25J

8．如图所示，水平传送带AB长l=8．3m，质量为M=1kg的木块随传送带一起以的速度向左匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因数μ=0．5。当木块运动至最左端A点时，一颗质量为m=20g的子弹以水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射入点各不相同，g取。求：

1）在被第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离?

2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中?

3）从第一颗子弹射中木块到木块最终离开传送带的过程中，子弹、木块和传送带这一系统所产生的热能是多少?（ g取）

A）考点透视：在典型模型下研究物体的运动和功能问题

B）标准解法：

（1）第一颗子弹射入木块过程中动量守恒

（1）

解得： （2）

木块向右作减速运动 加速度 （3）

木块速度减小为零所用时间为 （4）

解得 （5）

所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动离A点最远时，速度为零，移动距离为解得。（6）

（2）在第二颗子弹射中木块前，木块再向左作加速运动，时间 （7）

速度增大为（恰与传递带同速） （8）

向左移动的位移为 （9）

所以两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块总位移方向向右 （10）

第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为 （11）

第16颗子弹击中后，木块将会再向右先移动0.9m，总位移为0.9m+7.5=8.4m>8.3m木块将从B端落下。

所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中。

（3）第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为

木块向右减速运动过程中板对传送带的位移为

产生的热量为

木块向左加速运动过程中相对传送带的位移为

产生的热量为

第16颗子弹射入后木块滑行时间为有

（17）

解得 （18）

木块与传送带的相对位移为 （19）

　　产生的热量为 （20）

　　全过程中产生的热量为

　　解得Q=14155.5J （21）

　　C）思维发散：该题分析时对象选择整体隔离相结合。解题方法应是动力学和功能方法相结合。

9．(22分)如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v₀=2m/s的速率运行。现把一质量为m=l0kg的工件(可看作质点)轻轻放在皮带的底端，经时间1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，取g=10m/s²。

求:(1)工件与皮带间的动摩擦因数。(2)电动机由于传送工件多消耗的电能。

解：(1). 皮带长s=h/sin30°=3m， (1)

工件速度达到v₀前做匀加速直线运动的位移： s₁=t=t₁， (2)

达到v₀后做匀速直线运动的位移： s－s₁=v(t－t₁) (3)

解出：t₁=0.8s，s₁=0.8m　

所以：a==2.5m/s²

工件受的支持力F_N=μmgcosθ。

由牛顿第二定律，有：μF_N－mgsinθ=ma　(4) 解出：μ=

(2)在时间t₁内，皮带运动的位移s_皮=v₀t₁=1.6m，

工件相对皮带位移: s_相=s_皮－s₁=0.8m，

在时间t₁内，摩擦产生的热量：Q=μF_Ns_相=60J

工件获得的动能：E_K==20J

工件加的重力势能E_P=mgh=150J。

故电动机多消耗的电能：W=Q+E_K+E_P=230J

10.(15分)如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v₀=2 m/s的速率运行.现把一质量为m=10 kg的工件(可看为质点)轻轻放在皮带的底端，经时间1.9 s，工件被传送到h=1.5 m的高处，取g=10 m/s².求：

(1)工件与皮带间的动摩擦因数；

(2)电动机由于传送工件多消耗的电能.

解：由题图得，皮带长s==3 m

(1)工件速度达v₀前，做匀加速运动的位移s₁=t₁=

达v₀后做匀速运动的位移s-s₁=v₀（t-t₁）

解出加速运动时间 t₁=0.8 s

加速运动位移 s₁=0.8 m

所以加速度a==2.5 m/s²工件受的支持力N=mgcosθ

从牛顿第二定律，有μN-mgsinθ=ma

解出动摩擦因数μ＝

(2)在时间t₁内，皮带运动位移s_皮=v₀t=1.6 m

在时间t₁内，工件相对皮带位移 s_相=s_皮-s₁=0.8 m

在时间t₁内，摩擦发热 Q=μN·s_相=60 J

工件获得的动能 E_k=mv₀²=20 J

工件增加的势能E_p＝mgh＝150 J

电动机多消耗的电能W =Q+E_k十E_p=230 J

11．如图所示，水平传送带AB长L=8.3m，质量M=1kg的木块随传送带一起以v₁=2m/s的速度向左运动（传送带的速度恒定不变），木块与传送带间的摩擦因数μ=0.5．当木块运动到传送带最左端A点时，一颗质量为m=20g的子弹以v_o=300m/s水平向右的速度正对入射木块并穿出，穿出速度为v₂=50m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向木块．设子弹与木块的作用时间极短，且每次射入点不同，g=10m/s²．求：

（1）在木块被第二颗子弹击中前木块向右运动离A点的最大距离．

（2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹子击中．

（3）在被第二颗子弹击中前，子弹、木块、传送带这一系统所产生的热能是多少？

解：(1)第一颗子弹射入并穿出木块过程中，由动量守恒：

mv₀－Mv₁=mv₂+Mv₁′

解得：v₁′=3m/s

木块向右做减速运动，其加速度大小：

m/s²

木块速度减小为零所用时间为：s<1s 所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动速度为零时离A点最远，移动的距离为：

m

(2)在第二颗子弹射中木块前，木块再向左做加速运动，时间：

t₂=1s－0.6s=0.4s

速度增大为：v'₂=at₂=2m/s（恰与传递带同速）

向左移动的位移为:m

所以两颗子弹击中木块的时间间隔内，木块总位移：

s₀=s₁－s₂=0.5m，方向向右

设木块在传送带上最多能被n颗子弹击中，则：

解得：n＝16

(3)第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为：

木块向右减速运动过程中相对传送带的位移为：

产生的热量为：

木块向左加速运动过程中相对传送带的位移为，产生的热量为：

所以，在第二颗子弹击中前,系统产生的总热能为：

12．如图9所示，水平传送带AB足够长，质量为M＝1kg的木块随传送带一起以v₁＝2m/s的速度向左匀速运动（传送带的速度恒定），木块与传送带的摩擦因数，当木块运动到最左端A点时，一颗质量为m＝20g的子弹，以v₀＝300m/s的水平向右的速度，正对射入木块并穿出，穿出速度v＝50m/s，设子弹射穿木块的时间极短，（g取10m/s²）求：

图9

（1）木块遭射击后远离A的最大距离；

（2）木块遭击后在传送带上向左运动所经历的时间。

解：（1）设木块遭击后的速度瞬间变为V，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律得

（3分）

则，代入数据解得，方向向右。 （2分）

木块遭击后沿传送带向右匀减速滑动，其受力如图所示。

摩擦力 （1分）

设木块远离A点的最大距离为S，此时木块的末速度为0，

根据动能定理得 （3分）

则 （1分）

（2）研究木块在传送带上向左运动的情况。

设木块向左加速到时的位移为S₁。

由动能定理得

则 （3分）

由此可知，遭击木块在传送带上向左的运动过程分两个阶段：先向左加速运动一段时间，再匀速运动一段时间。

由动量定理得

则 （2分）

（2分）

所求时间 （1分）

13．（20分）如图甲所示，水平传送带的长度L=6m，皮带轮的半径R=0.25m，皮带轮以角速度顺时针匀速转动。现有一质量为1kg的小物体（视为质点）以水平速度从A点滑上传送带，越过B点后做平抛运动，其水平位移为s。保持物体的初速度不变，多次改变皮带轮的角速度，依次测量水平位移s，得到如图乙所示的s—图像。已知重力加速度g=10m/s²。回答下列问题：

（1）当时，物体在A、B之间做什么运动？

（2）物块的初速度多大？

（3）B端距地面的高度h多大？

（4）当=24rad/s时，求传送带对物体做的功。

解：（1）当时，物体在传送带上一直做减速运动（或匀减速直线运动）。（4分）

（2）由图象看出时，物体在传送带上一直减速，经过B端时的速度大小 （2分）

当时，物体在传送带上一直加速，经过B端时速度大小为 （2分）

物体的加速度 （1分）

（1分）

（1分）

得 （1分）

（3）由图可以看出水平速度为1m/s时，水平距离为0.5m，下落时间

（2分）

（3分）

（4）当=24rad/s时，物体先加速运动，当速度时，物体和传送带保持相对静止，由动能定理得

（3分）

解得W=5.5J （1分）